Zur Stetigkeit der Wurzeln einer algebraischen Gleichung. (Q2580382)

In Ausdehnung des von \textit{van der Waerden} (Einführung in die algebraische Geometrie, 1939; F. d. M. 65, 1393 (JFM 65.1393.*)) gegebenen Beweises des Satzes von der Stetigkeit der einfachen Wurzeln einer algebraischen Gleichung beweist Verf. den Satz: Ein Polynom \(g(y)=y^n+\sum\limits_{\nu=0}^{n-1}b_\nu y^\nu\) hat in beliebiger Nähe eines Wertes \(c\) mindestens \(m\) Nullstellen, wenn \(g(c)\), \(g'(c)\), \dots, \(g^{(m-1)}(c)\) hinreichend kleine Werte haben. -Der Beweis beruht auf folgendem Hilfssatz: Ist \(1\leqq m\leqq n\), und sind \(\alpha_1\), \dots, \(\alpha_n\) komplexe Zahlen, geordnet nach nicht abnehmenden Beträgen, so gibt es für den Betrag von \(\alpha_m\) eine obere Schranke \(\varphi_m\), die nur abhängt von den Beträgen der \(m\) letzten symmetrischen Grundpolynome in \(\alpha_1\), \dots, \(\alpha_n\), und die mit diesen Beträgen gegen Null strebt.