Sulla costruzione dei gruppi prodotto di due dati sottogruppi permutabili tra loro. (Q2580391)

Im Anschluß an die von \textit{O. Ore} (Duke math. J. 3 (1937), 149-174 (JFM 63.0060.*), insbesondere S. 159-162) gestellte Aufgabe: ``Bei gegebenen Gruppen \(A, B\) sind alle Gruppen, die sich als Produkt zweier vertauschbarer Gruppen \(\bar A\) und \(\bar B\) mit \(\bar A \sim A\), \(\bar B\sim B\) darstellen lassen, zu finden'' zeigt Verf.: Gibt es bei gegebenen Gruppen \(A, B\) zu jedem \(a \in A\) eine Transformation \(b \to b_a\) in \(B\) und ebenso zu jedem \(b \in B\) eine Transformation \(a \to a_b\) in \(A\) mit dem Gesetz \[ (b_{a'})_a =b_{aa'};\quad (aa')_b = a_{ba'}a_b' \] und dem analogen, wo die Elemente von \(A\) und \(B\) vertauscht sind, so gibt es eine und bis auf 1-Isomorphismen nur eine Gruppe \(C\), die Produkt zweier vertauschbarer Gruppen \(\bar A\) und \(\bar B\) mit \(\bar A \sim A\), \(\bar B \sim B\) und \(\bar A\cap\bar B = e\) (Einselement von \(C\)) ist. Es gilt dann, wenn im 1-Isomorphismus von \(A\) und \(\bar A\) sich die Elemente \(a\) und \(\bar a\) entsprechen, analog \(b\) und \(\bar b\) in \(B\) und \(\bar B\), die Beziehung \(\bar a \bar b = \bar b_a \bar a_b\).