Über eine Beziehung zwischen geschlossenen Lieschen Gruppen und diskontinuierlichen Bewegungsgruppen euklidischer Räume und ihre Anwendung auf die Aufzählung der einfachen Lieschen Gruppen. (Q2580407)

Der Zusammenhang zwischen Spiegelungsgruppen und halbeinfachen Lieschen Gruppen (vgl. \textit{E. Witt}, Abh. math. Sem. Hansische Univ. 14 (1941), 289-322; F. d. M. 67, 77) wird hier mit topologischen Methoden behandelt. Die einer Lieschen Gruppe zugeordnete Spiegelungsgruppe erscheint dabei als Repräsentantin der Kristallklasse einer diskontinuierlichen Bewegungsgruppe \(\varGamma\). Es sei \(G\) eine halbeinfache geschlossene zusammenhängende Liesche Gruppe. \(T_0\) sei eine abgeschlossene zusammenhängende Abelsche Untergruppe der Dimension \(l\); und \(T_0\) sei in dem Sinne maximal, daß es keine \(T_0\) enthaltende derartige Untergruppe von höherer Dimension gibt. Man betrachte diejenigen inneren Automorphismen von \(G\), die \(T_0\) invariant lassen. Diese erzeugen eine Gruppe \(\varPhi\) von Transformationen von \(T_0\) in sich. In einer hinreichend kleinen Umgebung \(U(e)\) der Einheit \(e\) von \(G\) werden kanonische Koordinaten eingeführt. Der Durchschnitt von \(U(e)\) und \(T_0\) ist ein Stück einer \(l\)-dimensionalen Ebene \(R^l\). Es wird gezeigt, daß die Differenz \(n-l\), wobei \(n\) die Dimension von \(G\) bedeutet, stets eine gerade Zahl ist. Man setze \(n-l=2m\). Bei passender Wahl der Koordinaten induziert \(\varPhi\) eine Gruppe \(\varPhi^*\) von orthogonalen Transformationen in \(R^l\), die den Nullpunkt der Koordinaten fest lassen. In \(R^l\) werden gewisse \(m\) Scharen von \((l - 1)\)-dimensionalen parallelen Ebenen ausgezeichnet, das sogenannte Diagramm von \(G\). Die Gruppe \(\varPhi^*\) läßt das Diagramm invariant. \(R^l\) kann selbst als Abelsche Gruppe aufgefaßt werden mit der Vektoraddition als Gruppenkomposition. Da \(R^l\) und \(T_0\) in \(U(e)\) übereinstimmen, ist \(R^l\) Überlagerungsgruppe von \(T_0\); es existiert also eine homomorphe Abbildung von \(R^l\) auf \(T_0\). Das Urbild von \(e\) ist eine diskrete Untergruppe von \(R^l\), also ein \(l\)-dimensionales Punktgitter \(g^l\). Aus der Tatsache, daß \(\varPhi^*\) das Gitter \(g^l\) invariant läßt, folgt die Endlichkeit von \(\varPhi^*\), also auch die von \(\varPhi\). Das Zentrum \(Z\) von \(G\) ist Untergruppe von \(T_0\). Der Gruppe \(Z\) entspricht in der Überlagerungsgruppe \(R^l\) eine Abelsche Untergruppe \(g_Z^l\). Aus der Halbeinfachheit von \(G\) folgt, daß \(Z\) diskret, also \(g_Z^l\) ein \(l\)-dimensionales Gitter ist. Es besteht aus den Knotenpunkten des Diagramms, d. h. aus denjenigen Punkten, durch welche \(m\) Ebenen laufen. Die Spiegelungen an den Ebenen des Diagramms bilden eine Gruppe \(\varGamma\), welche das Diagramm selbst und das Gitter \(g^l\) invariant läßt. \(\varGamma\) ist eine Raumgruppe des Raumes \(R^l\) im Sinne der Kristallographie. Verf. stellt die Diagramme der vier Cartanschen Klassen auf und beweist u. a. schließlich folgende Tatsachen über die Zuordnung der Gruppen zu den Diagrammen: Zwei Gruppen sind dann und nur dann im kleinen isomorph, wenn sie dasselbe Diagramm besitzen. Innerhalb einer Familie im kleinen isomorpher Gruppen unterscheidet das Gitter \(g^l\) die einzelnen Gruppen voneinander. Das Diagramm ist durch die Raumgruppe \(\varGamma\) bestimmt. Die Bestimmung aller Diagramme ist demnach eine Aufgabe der Kristallographie. Dabei hat \(\varGamma\) noch die Eigenschaft, durch Spiegelungen erzeugt zu werden. Bei der Aufstellung der Spiegelungsgruppen treten noch gewisse Ganzzahligkeitsbedingungen auf (vgl. die oben angeführte Arbeit von Witt), die, wie man hier erkennt, ihren Grund darin haben, daß die Gruppen ein Gitter invariant lassen.