Stufenreihen im Potenzrestcharakter. (Q2580439)

Mittels der entsprechenden Erweiterungskörper des Körpers der achten Einheitswurzeln wird gezeigt: Nach der Primzahl \(p\equiv 1\;(\text{mod}\;8)\) ist \(4+3\sqrt 2\) dann und nur dann zweiter bzw. vierter bzw. achter Potenzrest, wenn \(p\) die Gestalt \(x^2 + 64y^2\) bzw. \(x^2 + 256 y^2\) bzw. \(x^2+1024y^2\) mit ganzzahligen \(x\) und \(y\) hat. Nach der Primzahl \(p\equiv 1\;(\text{mod}\;8)\) ist \(2 + 2\sqrt2\) dann und nur dann zweiter bzw. vierter bzw. achter Potenzrest, wenn \(p\) die Gestalt \(x^2+32y^2\) bzw. \(x^2+128y^2\) bzw. \(x^2+512 y^2\) mit ganzzahligen \(x\) und \(y\) hat. Analoge Sätze über den Restcharakter von \(- 2\) hatte \textit{Aigner} schon früher (Deutsche Math. 4 (1939), 44-52; F. d. M. 65, 112 (JFM 65.0112.*)) hergeleitet. Auf eine Stufenreihe für den Restcharakter von \(2+\sqrt3\) wird hingewiesen.