Der \(n\)-Teilungskörper eines abstrakten elliptischen Funktionenkörpers, nebst Anwendung auf den Mordell-Weilschen Endlichkeitssatz. (Q2580442)

Für eine Reihe von Begriffen und Bezeichnungen vgl. vorstehendes Referat. \(K\) sei ein algebraischer Funktionenkörper einer Unbestimmten vom Geschlecht \(g=1\) über einem vollkommenen Konstantenkörper \(\varOmega\). Der \(\mu\)-Teilungskörper \(\overline K/\overline K_\mu\) (\(\mu\) beliebiger Multiplikator) der algebraisch abgeschlossenen Konstantenerweiterung \(\overline K/\overline\varOmega\) ist unverzweigt und abelsch mit der Gruppe der Translationen um die \(\mu\)-Teilungsklassen als Galoisgruppe und dem Zerlegungsgesetz: In \(\overline K\mu/\overline\varOmega\) zerfällt \(\overline{\mathfrak p}\mu\) in \(N(\mu)\) verschiedene Primdivisoren \(\mathfrak q\) von \(\overline K/\overline\varOmega\), die Lösungen von \(\mu\overline{\mathfrak q} =\overline{\mathfrak p}\) sind. Verf. fragt, welches Zerlegungsgesetz im \(\mu\)-Teilungskörper \(K/K\mu\) selbst gilt, wenn nur \(\varOmega\) so umfassend gewählt wird, daß \(K/K\mu\) abelsch ist. Es sei \(n\) eine natürliche Zahl, die nicht durch die Charakteristik von \(\varOmega\) teilbar ist. \(K/\varOmega\) besitze einen rationalen Punkt \(\mathfrak o\) und die \(n\)-Teilungsklassen \(J\) von \(K/\varOmega\) seien rational. Unter diesen Voraussetzungen wird bewiesen: \(K/Kn\) besitzt eine Kummer-Erzeugung \(K=Kn\left(\root n\of {z_Jn_{\mathfrak o}}\right)\). \(n_{\mathfrak o}\) ist ein zum Multiplikator \(n\) gehöriger Meromorphismus, das Elementarsystem \(z_Jn_{\mathfrak o}=w_J^n\) mit \(w_J\cong\dfrac{\mathfrak i n_{\mathfrak o}}{\mathfrak on_{\mathfrak o}}\), wo \(\dfrac{\mathfrak i}{\mathfrak o}\) das auf \(\mathfrak o\) bezogene Repräsentantensystem der \(n\)-Teilungsklassen \(J\) durchläuft. Das Elementsystem \(z_J\) aus \(K\) ist also durch \(z_J\cong\left(\dfrac {\mathfrak i}{\mathfrak o}\right)^n\) gegeben. Der Restklassenkörper \(\varOmega_{\mathfrak p}/\varOmega\) der Primdivisoren von \(K/\varOmega\), die in einem Primdivisor 1. Grades \(\mathfrak p n_{\mathfrak o}\) von \(Kn/\varOmega\) aufgehen, wird durch \(\varOmega_{\mathfrak p} = \varOmega\left(\sqrt{z_J(\mathfrak p)}\right)\) gegeben. Das \(n\)-Klassensystem der Kummererzeugenden \(z_J(\mathfrak p)\) in \(\varOmega\) von \(\varOmega_{\mathfrak p}/\varOmega\) der Primdivisoren von \(K/\varOmega\), die in einem Primdivisor 1. Grades \(\mathfrak pn_{\mathfrak o}\) von \(Kn/\varOmega\) aufgehen, entspricht umkehrbar eindeutig der \(n\)-Klasse von \(\mathfrak p\): \(z_J(\mathfrak p')\underset {n} = z_J(\mathfrak p)\) in \(\varOmega\) (für alle \(J\)) ist gleichbedeutend mit \(\mathfrak p'\underset {n}\sim\mathfrak p\). Diese eindeutige Zuordnung wird durch \(z_J\tau_P\underset {n} = z_J(\mathfrak p)z_J\) in \(K\) gegeben, wo \(P\) die Klasse von \(\dfrac{\mathfrak p}{\mathfrak o}\) bezeichnet, und sie ist ein Isomorphismus zwischen der Faktorgruppe \(D/D^n\), repräsentiert durch die \(n\)-Klassen \(PD^n\) der \(\dfrac{\mathfrak p}{\mathfrak o}\), und der Multiplikationsgruppe der \(n\)-Klassensyteme der \(z_J(\mathfrak p)\) in \(\varOmega\). Aus diesem Zerlegungsgesetz wird ein neuer Beweis des Mordell-Weilschen Endlichkeitssatzes für \(g=1\) hergeleitet: ``Die rationale Nullklassengruppe \(D\) von \(K/\varOmega\) hat endlichen Rang.'' Dieser Satz wird so im Zuge der allgemeinen Strukturtheorie der algebraischen Funktionenkörper bewiesen und in dieser Theorie an wohlbestimmter Stelle verankert. Der hier gegebene Beweis ist frei von der analytischen Theorie der 2-Teilung der elliptischen Funktionen. Er ist als Vorarbeit für einen rein algebraischen Beweis auch für \(g>1\) zu werten.