Zur Theorie der Gleichung \(x^2 +1= Dy^4\). (Q2580465)

Die Frage nach den Lösungen \(x\), \(y\) der Gleichung \[ x^2+1=Dy^4, \tag{1} \] wo \(D\) eine natürliche Zahl und kein Quadrat ist, in natürlichen Zahlen \(x\), \(y\) kommt auf die Bestimmung derjenigen Einheiten des Ringes \(C[\sqrt D]\) (\(C\) der Ring der ganzen rationalen Zahlen) hinaus, die die Gestalt \(x+y^2\sqrt D\) mit ganz-rationalen \(x\), \(y\) und die Norm \(-1\) haben. Ist \(E=u+v\sqrt D > 1\) (\(u\), \(v\) ganz-rational) Grundeinheit des Ringes, \(E'=u-v\sqrt D\), wobei also von vornherein \(EE'=-1\) angenommen werden kann, so wird das Problem auf die Bestimmung derjenigen ungeraden \(m>0\) zurückgeführt, zu denen es ein ganz-rationales \(z\) von der Beschaffenheit gibt, daß die Zahl \[ E^m+zE^{\tfrac{m-1}2}\sqrt{E^2+1} \tag{2} \] eine Einheit mit der Relativnorm \(-1\) im Ringe \(S=C[v\sqrt D, \sqrt{E^2+1}]\) in bezug auf den Ring \(C[v\sqrt D]\) ist, und zwar, wie sich weiter zeigt, ein Potenzprodukt der Grundeinheiten \(\varepsilon=E+\sqrt{E^2+1}\) und \(\varepsilon''=E'+\sqrt{E^{\prime 2}+1}\). Es kommt deshalb darauf an, alle Paare ganzer rationaler Zahlen \(p\), \(q\) mit ungeradem \(p+q\) zu finden, für die \(\varepsilon^p\varepsilon^{\prime\prime q}\) die Gestalt (2) mit ganz-rationalem \(z\) und ungeradem \(m>0\), insbesondere also die Relativspur \(2E^m\) hat. Es sei noch \(\varepsilon' = E-\sqrt{E^2+1}\), \(\theta=\sqrt{2E\varepsilon}\). Je nachdem \(q\) oder \(p\) gerade ist, sei \(\xi=\varepsilon^p\varepsilon^{\prime\prime q}+E^{\tfrac{m-1}2} \varepsilon^{\tfrac{p-1}2}\varepsilon^{\prime\prime}{}^{\tfrac q2}\theta\) oder \(\xi=\varepsilon^{\prime \prime p}\varepsilon^{\prime q}+ E'{}^{\tfrac{m+1}2} \varepsilon^{\prime\prime}{}^{\tfrac p2} \varepsilon^{\prime}{}^{\tfrac{q+1}2}\theta\) gesetzt. Dann erweist sich \(\xi\) als Einheit mit der Relativnorm 1 (in bezug auf \(S\)) im Ringe \(S[\theta]\), und zwar als Potenzprodukt der Grundeinheit \(\lambda_1= \varepsilon+\theta\) und einer angebbaren weiteren Grundeinheit \(\lambda_2\). Setzt man \(\xi=\lambda^h_1\lambda_2^k\) mit ganz-rationalen \(h\), \(k\), so kommt alles auf die Bestimmung von \(h\) und \(k\) an. Es ist nun \((\xi+\xi')(\xi''+\xi''')=-4\), wo die Akzente den Übergang zu gewissen Konjugierten anzeigen. Diese Gleichung läßt sich nach der Skolemschen \(p\)-adischen Methode unter Anwendung des binomischen Satzes auf einfache Kongruenzen zurückführen, für deren Lösungszahl sich wenigstens eine obere Schranke ergibt. Wie das geschieht, wird an dem Beispiel \(D=2\) gezeigt, bei dem das Verfahren zu einer vollständigen Lösung führt. In diesem Falle ergeben sich aus den Kongruenzen als einzige Lösungen \(h = 1\), \(k = 0\) und \(h = - 3\), \(k = 4\), woraus im ersten Falle \(p = 1\), \(q = 0\), \(m = 1\), im zweiten Falle \(p = 4\), \(q = - 1\), \(m = 7\) folgt. Die Gleichung \(x^2+1=2y^4\) hat daher in natürlichen Zahlen nur die Lösungen \(x=1\), \(y=1\) und \(x=239\), \(y=13\). Auf Grund eines Ergebnisses von \textit{Størmer} (Christiania Vid. Selsk. Skrifter 1 (1895), Nr. 11; F. d. M. 26, 328 (JFM 26.0328.*)) folgt daraus überdies, daß die Gleichung \(x^2 + 1 = 2y^n\) (\(n > 2\) ganz) nur dann eine von \(x = 1\), \(y = 1\) verschiedene Lösung in natürlichen Zahlen \(x\), \(y\) hat, wenn \(n=4\) ist, und in diesem Falle auch nur die Lösung \(x=239\), \(y=13\). Auch ein Satz von \textit{Tartakowsky} (Bull. Acad. Sci. URSS (6) 20 (1926), 301-324; F. d. M. 52, 148 (JFM 52.0148.*)) über die Gleichung \(x^4-1=Dy^4\) erhält mittels dieses numerischen Ergebnisses eine abgerundete Form. -- Ist \(D\) überdies quadratfrei, \(\mathbf{E} > 1\) Grundeinheit des Körpers \(\mathbf{P} (\sqrt D)\) (\(\mathbf{P}\) Körper der rationalen Zahlen), so ist bekanntlich \(E= \mathbf{E}\) oder \(E=\mathbf{E}^3\). Ist insbesondere \(E = \mathbf{E}^3\), also \(D\equiv 5\;(\text{mod}\;8)\), und außerdem wieder \(N(\mathbf{E}) = - 1\) (d. h. hat die Gleichung \(a^2 - Db^2 = - 4\) eine Lösung in ungeraden \(a\), \(b\)), so kann man zur Lösung der Gleichung (1) noch anders vorgehen. Zunächst wird \(x+y^2\sqrt D\) die dritte Potenz einer Einheit \(\dfrac{h+k\sqrt D}2\) mit ungeraden \(h\), \(k\), und daraus folgt leicht, daß mit einer passenden natürlichen Zahl \(h_1\) \[ h^2 + 1 = 2h^2_1,\qquad h^2 + 4 = Dk^2, \tag{3} \] \(k\) überdies ein Quadrat ist. Mittels der Einheiten verschiedener Körper wird nun bewiesen, daß (3) und damit auch (1) höchstens zwei Lösungen in natürlichen Zahlen hat, und ein Verfahren zur Auffindung dieser Lösungen angegeben.