Einige im Kleinen überall lösbare, im Großen unlösbare diophantische Gleichungen. (Q2580470)

Verf. untersucht im rationalen Zahlkörper \(\mathbf{P}\) die diophantischen Gleichungen \[ (1)\qquad x^4+17y^4 = z^2,\qquad\qquad (2)\qquad x^4-68y^4 = z^2,\qquad\qquad (3)\qquad 68x^4-y^4 = z^2, \] \[ (4)\qquad x^4 -17y^4= 2z^2,\qquad\qquad (5)\qquad 17x^4 - y^4 = 2z^2. \] Alle diese Gleichungen sind im Kleinen innerhalb \(\mathbf{P}\) überall lösbar, das heißt, sie haben reelle und beliebige \(p\)-adische Lösungen, wo \(p\) eine beliebige natürliche Primzahl ist. Im Großen, also in Zahlen von \(\mathbf{P}\) sind (1) und (2) nur trivial lösbar mit \(y=0\); (3), (4), (5) haben keine Lösungen in \(\mathbf{P}\). Bei der Beweisführung wird die Arbeit des Verf. Math. Ann., Berlin, 117 (1940), 235-276 (F. d. M. 66, 132 (JFM 66.0132.*)) herangezogen. Wesentlich ist auch, daß zunächst in \(\mathbf{P}(\sqrt{-2})\) operiert wird.