Su di una formula relativa alla frequenza dei numeri primi. (Q2580484)

Zunächst gibt Verf. durch Näherungsbetrachtungen wahrscheinlichkeitstheoretischer Natur rein heuristisch eine asymptotische Formel für die Anzahl \(f_n\) der im Intervall \(\left(p_n^2, p^2_{n+1}\right)\) vorkommenden Primzahlen. Dabei ist \(p_n\) die \(n\)-te Primzahl. Er findet \[ f_n\dot = h\prod_{k=1}^n \left(1-\frac1{p_k}\right), \] wo \(h\) eine Konstante ist. Mit Hilfe bekannter Sätze der analytischen Zahlentheorie erbringt er den strengen Beweis. Es ergibt sich hierbei \(h =\frac12e^C\) mit \(C\) als der Eulerschen Konstanten und ein Restglied \(O\left(\dfrac1{\log^2p_n}\right)\). Weiter vermutet Verf., daß jede Funktion \(f(\xi)\), die zur Darstellung der Häufigkeit der Primzahlen \(\leqq\xi\) geeignet ist, die Eigenschaft hat, daß die Transformation \(\xi= e^x\), \(f(\xi) = e^{-\varphi(x)}\) zu einer Funktion \(\varphi\) führt, die die Funktionalgleichung \[ \frac{d}{dx}\varphi(ax)=e^{-\varphi(x)} \] für \(a=2\) wenigstens angenähert erfüllt.