Über die Wahrscheinlichkeit, daß eine Zahl Primzahl ist. (Q2580485)

Die Funktion \(\operatorname{Li}(x) = \lim\limits_{\varepsilon=0} \left(\int\limits_0^{1-\varepsilon}\frac{dz}{\log z}+ \int\limits_{1+\varepsilon}^x\frac{dz}{\log z}\right)\) (\(\varepsilon>0\)) stimmt bekanntlich asymptotisch mit \(\pi(x)\) und daher auch mit \(f(x) = \sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac1n\pi\left(\root n\of x\right)\) überein. Unter Hinweis auf die bis \(10^7\) erstreckten bisherigen Primzahltafeln stellt Verf. nun fest, daß \(\operatorname{Li}(x)\) den Ausdruck \(f(x)\) wesentlich besser annähert als den Ausdruck \(\pi(x)\), schreibt daher \(\pi(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{\mu(n)}{n}f\left(\root n\of x\right)\) in die Form \(\pi(x)\approx\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{\mu(n)}n \operatorname{Li}\left(\root n\of x\right)\) um und macht es damit plausibel, daß die Wahrscheinlichkeit \(s_x\) für die Primzahleigenschaft einer natürlichen Zahl \(\leqq x\) über die bekannte asymptotische Darstellung \(s_x\sim\dfrac1{\log x}\) hinaus eine bessere Annäherung \(s_x\approx\dfrac1{\log x}\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{\mu(n)}{nx^{1-\frac1n}}\) zuläßt. Die Abweichungen der mittleren Primzahlhäufigkeit von dem Wert \(\dfrac1{\log x}\) in 225 aufeinanderfolgenden Intervallen zwischen \(10^4\) und \(10^7\) mit allmählich wachsender Breite werden durch eine graphische Darstellung in einem hyperbolisch-logarithmischen Netz veranschaulicht.