Eine einfache Summationsmethode in der Primzahltheorie und deren Anwendung auf die ``Brunsche Summe''. (Q2580486)

Mit empirischen Erwägungen auf Grund des Primzahlsatzes wird für alle im Bereich \(z\geqq 0\) stetigen und positiven Funktionen \(F(z)\) die folgende, unter schärferen Voraussetzungen bereits bekannte asymptotische Formel plausibel gemacht: \(\sum\limits_{p\leqq x} F(p)\sim\sum\limits_{1<z\leqq x}\dfrac{F(z)}{\log z} \sim\int\limits^x\dfrac{F(z)}{\log z}dz\), wo in den Summen \(p\) Primzahlen, \(z\) ganze Zahlen durchläuft. Im Falle \(F(z) = z\) kommt die Formel auf den Satz hinaus, daß die Summe der Primzahlen bis \(x\) asymptotisch gleich der Anzahl der Primzahlen bis \(x^2\) ist. Zur Probe wird die Zunahme des einen wie des andern Ausdrucks von \(x^2 = 10^8\) bis \(x^2= 10^9\) numerisch ermittelt; die Abweichung beträgt etwa 1{\%}. -- Ähnliche Betrachtungen wie oben erhärten die ``Wahrscheinlichkeit'' des folgenden Satzes: Unter gehörigen Voraussetzungen über \(F\) ist \(\sum\limits_{p\leqq x}F(p,p+2)\sim k\int\limits^x \dfrac{F(z-1,z+1)}{\log^2z}dz\) mit \(k=2\prod\limits_{p\geqq 3} \left(1-\dfrac1{(p-1)^2}\right)\), wo \(p\) in diesem Produkt beliebige Primzahlen, in der Summe hingegen nur solche Primzahlen \(> 3\) durchläuft, für die \(p+2\) ebenfalls Primzahl ist. \(F(u, v) = 1\) ergäbe hiernach die Anzahl der Paare von Primzahlzwillingen bis \(x\) asymptotisch zu \(k\int\limits_2^x\dfrac{dz}{\log^2z}\), so daß es insbesondere unendlich viele Paare von Primzahlzwillingen gäbe. \(F(u, v)=\dfrac1u+ \dfrac1v\) ergäbe mit denselben \(p\) wie in der vorigen Summe \(\sum\limits_{p\leqq x}\left(\dfrac1p+\dfrac1{p+2}\right) \sim B-\dfrac{2k}{\log x}\) mit angebbarem, konstantem \(B\), das zugleich den Wert der Brunschen Reihe der reziproken Primzahlzwillinge unter Weglassung des Paares 3, 5 darstellen würde und mit 1{\%}\({ 0}\) Genauigkeit zu 1,368 errechnet wird. Die Güte der Annäherung wird beide Male für einzelne \(x\) numerisch geprüft.