On the number of partitions of a number into unequal parts. (Q2580496)

Die Anzahl \(q(n)\) der Zerlegungen der natürlichen Zahl \(n\) in ungleiche Summanden wird explizit in Gestalt einer unendlichen Reihe durch Werte der Ableitung der 0-ten Besselschen Punktion \(J_0(x)\) ausgedrückt. Zu diesem Zweck wird die Hardy-Littlewoodsche Methode auf die Funktion \(f(x)=1+\sum\limits_{n=1}^\infty q(n) x^n =\prod\limits_{n=1}^\infty(1+x^n)\) angewandt. Bei Darstellung des Koeffizienten \(q(n)\) mittels der Cauchyschen Integralformel wird für den Integrationsweg \(|x|=e^{-2\pi N^{-2}}\) (\(N>0\) ganz) eine Fareyzerschneidung \(N\)-ter Ordnung zugrunde gelegt. Die Integralsumme über die den geraden Nennern entsprechenden Bogen erweist sich -- unter Benutzung der Transformationseigenschaften von \(f(x)\) -bei jedem \(\varepsilon > 0\) als von der Größenordnung \(O(N^{-\frac12+\varepsilon})\), strebt also mit wachsendem \(N\) gegen Null. Mit denselben Mitteln kann unter Zulassung eines Fehlers der nämlichen Größenordnung der andere Integralbestandteil durch eine Residuensumme einer elementaren Funktion ausgedrückt werden. Der Grenzübergang \(N\to\infty\) ergibt dann die behauptete Gleichung.