Zu einem Approximationssatz von Koksma. (Q2580516)

Verf. untersucht die Verteilung von \(\alpha^x\;(\text{mod}\;1)\) für \(\alpha>1\), reell, und beweist folgende zwei Sätze: a) Wenn \(\alpha\) ganz algebraisch ist und die von \(\alpha\) verschiedenen Konjugierten absolut kleiner als Eins sind, so konvergiert \(\alpha^x\) gegen Null (\(\text{mod}\;1\)). b) Wenn \(\alpha=\dfrac pq\) rational, nicht ganz ist, so hat \(\alpha^x\) unendlich viele verschiedene Häufungswerte (\(\text{mod}\;1\)). Satz a) folgt sofort aus der Tatsache, daß die Summe der \(n\)-ten Potenzen von \(\alpha\) und seiner Konjugierten ganz rational ist. Zum Beweis von b) wird zuerst gezeigt, daß mit \(\omega\) auch \(\alpha\omega+\dfrac rq\) mit passendem \(r\) Häufungswert von \(\left(\dfrac pq\right)^x\;(\text{mod}\;1)\) ist. Man vergleiche hierzu auch \textit{Vijayaraghavan}, Proc. Indian Acad. Sci., A 12 (1940), 20; F. d. M. 66, 247 (JFM 66.0247.*) und Ref., C. R. Acad. Sci., Paris, 204 (1937), 312-314; Ann. Scuola norm. sup. Pisa (2) 7 (1938), 205-248; F. d. M. \(63_{\text I}\), 153; \(64_{\text{II}}\), 994).