Ein Kriterium für die algebraischen Zahlen. (Q2580520)

Aus der Periodizität der Kettenbruchentwicklung einer reellen algebraischen Zahl 2. Grades, \(\xi\), folgt für die Näherungsbrüche \(\dfrac{u_n}{v_n}\): Es gibt eine Zahl \(\alpha>1\) und feste Zahlen \(C_1\), \(C_2\) so daß \[ |u_{n+1}-\alpha u_n|<\frac{C_1}{|u_n|} \quad \text{und} \quad |v_{n+1}-\alpha v_n|<\frac{C_2}{|v_n|}; \] ferner ist \[ |u_n-\xi v_n|< \frac 1{|v_n|}. \] Diese Eigenschaften lassen sich auf beliebige reelle algebraische Zahlen übertragen und liefern ein Kriterium für algebraische Zahlen. Verf. beweist: I. Jeder reellen algebraischen Zahl \(\xi\) kann man eine unendliche Folge von Näherungsbrüchen \(\dfrac{u_n}{v_n}\) mit der folgenden Eigenschaft zuordnen: (A). Es gibt eine positive Zahl \(\alpha>1\) und positive feste Zahlen \(C_1\), \(C_2\), \(\varepsilon\), so daß zugleich \[ |\varphi_{n+1}| = |u_{n+1}-\alpha u_n| < \frac{C_1}{|u_n|^\varepsilon} \quad \text{und} \quad |\psi_{n+1}|= |v_{n+1}-\alpha v_n|< \frac{C_2}{|v_n|^\varepsilon}. \] Umgekehrt: II. Jede reelle Zahl \(\xi\), die eine unendliche Folge von Näherungsbrüchen mit der Eigenschaft (A) besitzt, ist algebraisch. Ihr Grad kann den Wert \(1+\dfrac 1\varepsilon\) nicht überschreiten. Aus (A) folgt die Existenz einer festen Zahl \(C_3\), so daß \[ |u_n-\xi v_n|<\frac{C_3}{|v_n|^\varepsilon}. \] Verf. leitet ferner einen Satz über die Konstruktion von Näherungsbrüchen mit der Eigenschaft (A) ab und deutet diese Konstruktion geometrisch. Zum Beweis von II. kann Verf. entweder einen Satz über meromorphe Funktionen von Borel mit einer Ergänzung von Fatou oder ein Kriterium für algebraische Zahlen von Thue heranziehen, das sich aus dem Borelschen Satz beweisen läßt, von Thue aber anders bewiesen wurde. Die Verfolgung der den Beweisen der Sätze von Borel und Thue zugrunde liegenden Gedanken führt Verf. zu zwei Erweiterungen von II, nämlich III. Die Zahl \(\xi\) ist algebraisch, wenn man eine Zahl \(\alpha>1\) so finden kann, daß eine der beiden folgenden Bedingungen erfüllt ist: a) Für \(n=1\), 2, \dots gilt \[ |\varphi_n|\leqq \frac 1{2e\alpha(1+\log|u_0|)} \quad \text{und} \quad |\psi_n| \leqq \frac 1{2e\alpha(1+\log|v_0|)}, \;u_0, \;v_0 \neq 0. \] b) Für alle genügend großen \(n\) gilt \[ \sum_{\nu=n}^{2n} |\varphi_\nu|^2\leqq \frac 1{4\alpha^2} \quad \text{und} \quad \sum_{\nu=n}^{2n} |\psi_\nu|^2\leqq \frac 1{4\alpha^2}. \] Der Grad von \(\xi\) kann dabei im ersten Fall die kleinste der beiden Größen \(1+\log|u_0|\), \(1+\log|v_0|\) nicht überschreiten. Die beiden Bedingungen sind voneinander unabhängig. II ist Sonderfall sowohl von IIIa als auch von IIIb). Schließlich wird noch die Übertragung der Überlegungen und Ergebnisse auf komplexe algebraische Zahlen besprochen. Die Arbeit stellt eine Weiterführung früherer Arbeiten des Verf. dar (C. R. Acad. Sci., Paris, 206 (1938), 1862-1864; Ann. Scuola norm. sup. Pisa, Sci. fis. mat. (2) 7 (1938), 205-248; JFM 64.0151.*; 64\(_{\text{II}}\), 994), nimmt aber auf diese keinen Bezug.