Über ein ``neues'' Verfahren zur Annäherung von Quadratwurzeln und seine geschichtliche Bedeutung. (Q2580523)

Aus den Näherungsbrüchen \(\dfrac{p_n}{q_n}\) der Kettenbruchentwicklung von \(\sqrt k\) (\(k\) nichtquadratische natürliche Zahl) greift Verf. Teilfolgen heraus, deren Indizes eine geometrische Folge \(\alpha^\nu m\) bilden, und zwar \(\alpha=2\) und \(\alpha=3\). Hierfür ist die Berechnung der \(\dfrac{p_{\alpha m}}{q_{\alpha m}}\) aus \(\dfrac {p_m}{q_m}\) einfach anzugeben. Die aus \(\alpha=2\) folgende Methode zur näherungsweisen Berechnung von Quadratwurzeln ist uralt. Für \(\alpha=3\) erhält man aus der Näherung \(\dfrac{p_m}{q_m}\) die neue Näherung \[ \frac{p_{3m}}{q_{3m}}=\frac{p_m}{q_m} \frac{p_m^2+3kq_m^2}{3p_m^2+kq_{m^2}}. \tag{1} \] Die nach (1) aus \(\dfrac{p_m}{q_m}\) berechneten Näherungen lassen sich auch aus der Ungleichung \[ \sqrt{\frac uv} < \frac{3u+v}{u+3v} \quad (0<u<v) \tag{2} \] herleiten. Ist nämlich ein Näherungswert \(\dfrac{p_m}{q_m} \gtrless \sqrt k\) bekannt, so folgt mit \(\dfrac uv=\dfrac{kg_m^2}{p_m^2} \lessgtr 1\) aus (2) sofort \[ \sqrt k \lessgtr \frac{p_m}{q_m} \frac{p_m^2+3kq_m^2}{3p_m^2+kq_{m^2}}, \tag{3} \] also der Näherungswert von (1). Die Ungleichung (2) deutet Verf. anschaulich und glaubt, daß damit die lange gesuchte Methode gefunden sei, nach der Archimedes seine berühmten Näherungen für \(\sqrt 3\) gefunden hat. Geht man nämlich von \(\dfrac 53 < \sqrt 3 < \dfrac 74\) aus, so erhält man aus (2) in der angegebenen Weise beim nächsten Schritt die Archimedischen Werte \[ \frac{265}{153} < \sqrt 3 < \frac{1351}{780}. \] Das Verfahren liefert für Quadratwurzeln in einfacher Weise sehr genaue Näherungen. Eine Ausdehnung auf die Berechnung höherer Wurzeln mit Hilfe der Ungleichung \[ \root n \of{\frac uv}<\frac{(n+1)u+(n-1)v}{(n-1)u+(n+1)v}, \quad 0<u<v \] wird für Kubikwurzeln angedeutet.