Lezioni di analisi. II. Parte 1. Serie di funzioni, applicazioni geometriche, integrali rettilinei, funzioni di più variabili, derivazione e integrazione ad esse inerenti. (Q2580552)

Band I erschien in 1. Auflage 1933, in 2. Auflage 1941 (JFM 59.0226.*; 67). Band II dringt nun wesentlich tiefer in die höhere Mathematik ein. Entsprechend dem didaktischen Zweck des Werkes enthält jedes Kapitel einen Hauptteil, der jeweils die notwendigen Hauptsätze und -begriffe in klassischer Form behandelt, und einen Ergänzungsteil, der vorwiegend das Interesse des Mathematikers beansprucht. In diesen Ergänzungen führen Verf. den Leser nach \textit{allen} Richtungen hin bis zu den neuesten Fragen und Forschungen und leisten damit eine Ebnung der Wege und enzyklopädische Zusammenfassung, unter Hervorhebung des wirklich Wesentlichen, die gänzlich einmalig ist und jedenfalls in einem Lehrbuch in dieser Form noch nie versucht wurde. Dadurch bekommt das Werk eine höchst persönliche Note; die Dichte der Darstellung, die erstaunliche Fülle der verarbeiteten Gegenstände bei äußerster Exaktheit und Klarheit und die Weite des Blickes tragen ganz den Stempel der starken Persönlichkeit Severis; man ist beim Lesen immer von neuem entzückt über die meisterhafte Gedankenführung und überrascht von der Vielseitigkeit und Mannigfaltigkeit des Stoffes. Das Werk stellt daher zugleich einen einzigartigen Führer durch das Gesamtgebiet der Mathematik dar. Nun zum Inhalt! Kap. 1. Funktionenreihen im Reellen und Komplexen. A. (Hauptteil). Gleichmäßige und totale Konvergenz (totalkoavergent heißt \(\sum f_\nu(x)\) in einem Intervall, wenn \(\sum \overline{\text{fin}}|f_\nu(x)|\) konvergiert), Potenzreihen, elementare Funktionen im Komplexen. B. (Ergänzungen.) Verhältnis von gleichmäßiger bzw. totaler Konvergenz zur Stetigkeit. Abelsche und Taubersche Grenzwertsätze, Aufbau der Funktionentheorie nach Lagrange-Weierstraß, Kap. 2. Differentialgeometrie. A. Geometrie der Raumkurven. Singularitäten. B. Existenz der Tangenten und Halbtangenten an Jordankurven. Berührungsordnungen. Tensorrechnung. Kap. 3. Bestimmte und unbestimmte Integrale. A. Darbouxs Ober- und Unterintegral. Riemannsche Integrierbarkeit. Primitive Funktionen. Uneigentliche und Cauchysche Hauptintegrale. Erweiterung aufs Komplexe. Bogenlänge, ebene Flächeninhalte. B. Zweiter Mittelwertsatz nach Carathéodory. Funktionen beschränkter Schwankung. Jordansches, Lebesguesches, Borelsches Maß. Bairesche Klassen. Maß ebener Mengen. Lebesgue-meßbare Funktionen, \(L\)-Integral. Konvexe Funktionen. Denjoysches Integral. Kap, 4. Integrationsmethoden. A. Genäherte Quadratur. Parabel-Interpolation. Integraphen. Integrationsregeln. Abelsche Integrale. B. Neue Quadraturformeln. Integration meromorpher Funktionen im Komplexen. Elliptische Funktionen, Eulersche Betafunktion, Gammafunktion. Summierungsverfahren. Integration nichtganzer Ordnung. Hermitesche Interpolation. Weierstraß' Annäherungssatz. Schwarzsche und Jensensche Ungleichung. Kap. 5. Ableitungen und Differentiale bei Funktionen von mehreren Veränderlichen. A. Partielle Ableitungen. Totales Differential. Implizite Funktionen. Abhängigkeit von Funktionen. Verhalten einer Fläche im Kleinen. Hüllkurven. B. Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen. Differenzierbarkeit, Hyperdifferenzierbarkeit (nach \textit{Severi}, Ann. Mat. pura appl., Bologna, (4) 13 (1934), 1-35; JFM 60.0216.*), Existenzsätze. Hyperdifferenzierbarkeit und einfache Flächenpunkte. Ultraderivierte und Hyperderivierte und ein Satz von Whitney über die Fortsetabarkeit differenzierbarer Funktionen. Quadratische Formen. Existenzuntersuchungen über die Extrema von Funktionen mehrerer Veränderlicher. Krümmungstheorie der Flächen. Riccikalkül. Potenzreihen zweier Veränderlicher im Komplexen, Sätze von Faber und Hartogs. Darstellung im St. Totales Konvergenzgebiet einer Potenzreihe in zwei Veränderlichen, ihre Pseudokonvexität nach H. Cartan und Severi. Invariantes Konvergenzgebiet nach Behnke. Singularitäten der analytischen Funktionen zweier Veränderlicher. Analytische Mäntel, Weierstraß' Vorbereitungssatz. Kap. 6. Kurven- und Flächenintegrale. A. Kurvenintegrale. Riemannsche Doppelintegrale; Greensche Formel. Dreifache Integrale. Flächeninhalt krummer Flächen. Transformation der Doppelintegrale. B. Stieltjes-Integral. Cauchys Integralsatz und Folgerungen, Laurentreihen, Konturintegrale. Uneigentliche Doppelintegrale. Eigenschaften der ebenen eineindeutigen Abbildungen. Flächenintegrale. Greensche Sätze. Differentialformen und ihr Kalkül. Mehrfache \(L\)-Integrale. Funktionen beschränkter Schwankung und Flächeninhaltsbegriff. Asymptotische Differenzierbarkeit und anschließende Sätze von Rademacher, Stepanoff, Caccioppoli und Scorza Dragoni.