À propos du théorème fondamental de la théorie des jacobiens. (Q2580575)

Der Satz ``Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß \(n\) Funktionen \(u_1,\ldots, u_n\) der \(n\) Veränderlichen \(x_1,\ldots, x_n\) durch eine Relation verbunden sind, ist das Verschwinden ihrer Funktionaldeterminante'' bedarf, wie Verf. durch Beispiele belegt, der Präzisierung. Als Ergebnis seiner kritischen Untersuchung erhält Verf. folgenden Satz: Sind \(u_1,\ldots, u_n\) stetige Funktionen von \(x_1,\ldots, x_n\) mit stetigen und beschränkten ersten Ableitungen und verschwindender Funktionaldeterminante, so ist der Ort der Punkte \(u = (u_1,\ldots, u_n)\) im \(n\)-dimensionalen Raum eine Menge \(E\) vom Maß Null. Bleibt der Punkt \(x = (x_1,\ldots, x_n)\) in einem beschränkten Gebiet, so ist die Menge \(E\) abgeschlossen und nirgends dicht. Es besteht dann zwischen den \(u_j\) eine Relation \(\varPhi(u_1,\ldots, u_n) = 0\), wobei \(\varPhi\) eine stetige und fast überall von Null verschiedene Funktion ist. Man darf für \(\varPhi\) z. B. den Abstand des Punktes \(u\) von \(E\) nehmen. Durchläuft der Punkt \(x\) aber den ganzen Raum, so kann es vorkommen, daß \(E\) überall dicht im ganzen Raum ist, so daß also von einer Relation im üblichen Sinn nicht gesprochen werden kann.