Sulla quadratura delle superficie in forma parametrica. (Q2580597)

Unter Bezugnahme auf frühere Arbeiten (vgl. u. a. Ann. Scuola norm. sup. Pisa, Sci. fis. mat. (2) 10 (1941), 253-295; F. d. M. 67, 175 (JFM 67.0175.*) und die vorstehend besprochenen Arbeiten) wird über die dort erhaltenen Ergebnisse (ohne Beweise) berichtet. Außerdem werden folgende zwei Sätze mitgeteilt, deren Beweis in demnächst erscheinenden Arbeiten gegeben werden soll. I) Es werde geetzt \[ g(r)=\textstyle \iint\limits_{K}|\,O(x,y;C)\,|\,dx\,dy,\;u(r)= \iint\limits_{K}o(x,y;C)\,dx\, dy, \] wobei \(r\), ein Jordangebiet im \(u\), \(v\)-Definitionsbereich \(A\) und \(C\) das Bild der Begrenzungskurve von \(r\) vermöge der eindeutigen, stetigen Abbildung \(\varPhi =(x=x(u, v), y=y(u,v))\) in der \(x\), \(y\)-Ebene, wobei ferner \(O(x, y; C)\) der Kroneckersche Index von \((x, y)\) bezüglich \(C\) und \(o(x, y; C) = 1\) bzw. \(= 0\) ist, je nachdem \(O(x, y; C) \neq 0\) oder \(=0\). Schließlich sei \(G(\varPhi )=\overline{\text{Grenze}}\sum\limits_{i=1}^{m}g(r_i)\), \(U(\varPhi )=\overline{\text{Grenze}}\sum\limits_{i=1}^{m}u(r_i)\), \(\varPsi (x,y;\varPhi )=\overline{\text{Grenze}}\sum\limits_{i=1}^{m}|\,O(x,y;C_i)\,|\), \(\psi (x,y;\varPhi )=\overline{\text{Grenze}}\sum\limits_{i=1}^{m}o(x,y;C_i)\), wo die \(r_{i}\) eine Einteilung von \(A\) darstellen und \(C_{i}\) die Bilder der Randkurven der \(r_{i}\) vermöge \(\varPhi \) bedeuten. Dann gilt für jede Abbildung \(\varPhi \): \(G(\varPhi )=U(\varPhi )=\iint\limits_{K}\varPsi (x,y;\varPhi )\,dx\,dy=\iint\limits_{K}\psi (x,y;\varPhi )\,dx\,dy\). Daraus folgt: Es ist \(\varPhi \) von beschränkter Variation dann und nur dann, wenn \(\sum\limits_{i=1}^{m}g(r_i)\) oder \(\sum\limits_{i=1}^{m}u(r_i)\) gleichmäßig beschränkt ist für jedes System (offener) paarweise fremder, in \(A\) gelegener Jordangebiete \(r_{i}\); jede absolut stetige Abbildung \(\varPhi \) ist auch von beschränkter Variation. -- II) Die absolut stetigen unter den Abbildungen \(\varPhi \) sind so definiert: a) zu beliebigem \(\varepsilon > 0\) gehört ein \(\sigma =\sigma (\varepsilon )>0\) derart, daß für alle Systeme offener, einfacher, paarweise fremder, in \(A\) gelegener Polygone \(\pi _i\) mit \(\sum\limits_{i=1}^{m}|\,\pi _i\,|<\sigma \) gilt: \(\sum\limits_{i=1}^{m}g(\pi _i)<\varepsilon ;\) b) Für jede Einteilung von \(A\) in einfache Polygonen \(\pi _i\) gilt: \(G(\varPhi )=\sum\limits_{i=1}^{m}G(\pi _i)\). Behauptet wird, daß diese Forderungen a) und b) unabhängig voneinander sind.