Una proprietà caratteristica delle trasformazioni a variazione limitata. (Q2580598)

1) Es wird der in der vorstehend besprochenen Arbeit bereits angekündigte (im Referat) mit I. bezeichnete Satz bewiesen. -- 2) Ferner wird folgender Satz über gliedweise Integration bewiesen: Es seien \(f_\nu (x)\geqq 0\) quasi-stetig (``nahezu stetig'') in \([a, b]\); \(\int\limits_{a}^{b}f_\nu (x)\,dx=+\infty \) ist zugelassen (Lebesgue-Integral); ferner existiere zu jedem \(x\) und \(n\) eine (natürliche)Zahl \(p(n; x)\) derart, daß \(f_n(x)\leqq f_{n+p}(x)\) für alle \(p\geqq p(n; x)\). Dann existiert \(f(x)=\displaystyle \kern-2pt\lim_{\nu \to\infty }f_\nu (x)\) für alle \(x\in[a, b]\), wobei \(f(x)=+\infty \) zugelassen ist, (ferner ist \(f(x)\) nahezu stetig) und es gilt \[ \textstyle \int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx=\displaystyle \lim_{\nu \to\infty }\textstyle \int\limits_{a}^{b}f_\nu (x)\,dx\leqq +\infty . \]