Sul concetto di trasformazione assolutamente continua. (Q2580599)

Es sei \[ \varPhi =\bigl(x=x(u,v),\;y=y(u,v)\;\text{mit}\;(u,v)\in A,\;\text{wo}\;A=(0\leqq u\leqq 1,\;0\leqq v\leqq 1)\bigr) \] eine eindeutige, stetige Abbildung des Quadrates \(A\) in die \(x\), \(y\)-Ebene. Es wird dann \(\varPhi \) als absolut stetig bezeichnet (vgl. vorstehende Besprechung), wenn (vgl; die a. a. O. eingeführten Bezeichnungen) a) zu beliebigem \(\varepsilon >0\) ein \(\sigma (\varepsilon )\) gehört derart, daß für alle Systeme offener, einfacher, paarweise fremder, in \(A\) gelegener Polygone \(\pi _i\) mit \(\sum\limits_{i=1}^{m}|\,\pi _i\,|<\sigma \) gilt \(\sum\limits_{i=1}^{m}g(\pi _i)<\varepsilon \); b) für jede Einteilung von \(A\) in einfache (bis auf Begrenzungspunkte paarweise fremde) Polygone \(\pi _i\) gilt \(G(\varPhi )=\sum\limits_{i=1}^{m}G(\pi _i)\). In vorliegender Note wird der a. a. O. bereits angekündigte Satz bewiesen, daß a) und b) unabhängig sind. Es wird nämlich je eine Abbildung von beschränkter Variation (vgl. a. a. O.) konstruiert, welche zwar a) erfüllt aber nicht b), bzw. welche b) erfüllt aber nicht a).