Über die restringierte Limitierung von Doppelfolgen nach den Verfahren von Cesàro, Hölder und Euler-Knopp. (Q2580632)

Es werden Transformationen von Doppelfolgen betrachtet, bei denen mit Hilfe zweier Dreiecksmatrizen (\(a_{mn}\)) und \((b_{mn})\) mit \(m = 0\), 1,\dots ; \(n = 0\), 1,\dots \(m\), die den bekannten Toeplitzschen Bedingungen für Regularität genügen, einer Doppelfolge \(s_{\mu \nu }(\mu,\nu =0,1,\dots )\) eine neue Doppelfolge \[ S_{mn}=\textstyle \sum\limits_{\mu =0}^{m}\sum\limits_{\nu =0}^{n}a_{m\mu }b_{n\nu }s_{\mu \nu }\quad(m,n=0,1,\geqq ), \] die \(\{A, B\}\)-Transformation yon \(s_{\mu \nu }\), zugeordnet wird. Die Klasse dieser Transformationen im Komplexen heiße die Klasse der \(T\)-Transformationen. Zieht man nur beschränkte Doppelfolgen in Betracht, so gilt für alle \(T\)-Transformationen der Permanenzsatz, daß aus \(\kern-3pt\displaystyle \lim_{\mu,\nu \to\infty }\kern-4pt s_{\mu \nu }=s\) stets \(\{A,B\}\)-\(\displaystyle \kern-4pt\lim_{\mu,\nu \to\infty }\kern-6pt s_{\mu \nu }=s\), d. h. \(\displaystyle \kern-5pt\lim_{m,n\to\infty }\kern-6pt S_{mn}=s\), folgt; läßt man beliebige Doppelfolgen zu, so gilt der Permanenzsatz in der abgeschwächten Form, daß aus der gleichzeitigen Existenz dieser beiden Limites ihre Gleichheit folgt (vgl. Verf., Math. Z. 34 (1931), 281-290; 37 (1933), 77-84; JFM 57.0259.*; 59\(_{\text{I}}\), 247). Komplizierter liegen die Verhältnisse bei Zugrundelegung restringierter Konvergenz und Limitierbarkeit (vgl. \textit{C. N. \textit{Moore}}, Summable series and convergence factors, New York 1938; JFM 64.0169.*). Die Doppelfolge \(s_{\mu \nu }\) heißt restringiert konvergent zum Wert \(s\), in Zeichen \(\kern-4pt\underset{\mu,\nu \to\infty }{[\lim]}\kern-3pt s_{\mu \nu }=s\), wenn für jedes \(\vartheta \) aus \(0<\vartheta <1\) diejenigen \(s_{\mu \nu }\), deren Indizes den Ungleichungen \(\vartheta \nu <\mu <\nu \vartheta ^{-1}\) genügen, den einzigen Häufungswert \(s\) haben; sie heißt restringiert \(\{A, B\}\)-limitierbar zum Wert \(S\), in Zeichen \(\{A,B\}\)-\(\kern-4pt\underset{\mu,\nu \to\infty }{[\lim]}\kern-3pt s_{\mu \nu }=S\), wenn \(\kern-4pt\underset{m,n\to\infty }{[\lim]}\kern-3pt S_{mn}=S\) ist. Ferner heißt \(s_{\mu \nu }\) restringiert beschränkt, wenn der größte Häufungswert der Beträge derjenigen \(s_{\mu \nu }\), deren Indizes den Ungleichungen \(\vartheta \nu <\mu <\nu \vartheta ^{-1}\) genügen, für \(\vartheta \to+0\) unter einer endlichen Schranke bleibt; entsprechend heißt \(s_{\mu \nu }\) restringiert \(\{A, B\}\)-beschränkt, wenn \(S_{mn}\) restringiert beschränkt ist. Aus der Klasse der \(T'\)-Transformationen, einer Unterklasse der \(T\)-Transformationen, für die bei restringierter Konvergenz und Limitierbarkeit für beschränkte Doppelfolgen der Permanenzsatz in vollem Umfang gilt, hat Verf. in einer früheren Arbeit (Math. Ann., Berlin 110 (1934), 33-53; JFM 60.0180.*) durch Angabe hinreichender Bedingungen eine Klasse von \(T''\)-Transformationen herausgehoben, für die bei restringierter Konvergenz und Limitierbarkeit für beliebige Doppelfolgen der Permanenzsatz in der abgeschwächten Form gilt. Genauer gilt: Definieren die beiden Matrizen \(A\) und \(B\) eine \(T''\)-Transformation, so ist eine restringiert konvergente Doppelfolge \(s_{\mu \nu }\) dann und nur dann auch restringiert \(\{A, B\}\)-limitierbar, wenn sie restringiert \(\{A, B\}\)-beschränkt ist. Es ist \(\{A, B\}\)-\(\kern-4pt\underset{\mu,\nu \to\infty }{[\lim]}\kern-3pt s_{\mu \nu }=\kern-4pt\underset{\mu,\nu \to\infty }{[\lim]}\kern-3pt s_{\mu \nu }\), wenn beide Seiten dieser Gleichung existieren. Die Entscheidung, ob eine vorgelegte \(T\)-Transformation zur Klasse der \(T''\)-Transformationen gehört, ist in der Regel noch ziemlich mühsam. Daß die Cesàroschen \(C(r, s)\)-Transformationen (\(r\), \(s\) ganz, \(\geqq 0\)) \(T''\)-Transformationen sind, wurde schon in der zuletzt genannten Arbeit des Verf. gezeigt; der Beweis wird nochmals in abgeänderter Gestalt wiedergegeben. Weiter wird der Nachweis erbracht, daß die Hölderschen \(H(r, s)\)- und die Euler-Knoppschen \(E(r, s)\)-Transformationen ganzer positiver Ordnung \(T''\)-Transformationen sind. Dabei werden als \(C(r, s)\)- bzw. \(H(r, s)\)- bzw. \(E(r, s)\)-Transformationen die \(\{C_r, C_s\}\)- bzw. \(\{H_r, H_s\}\)- bzw. \(\{E_r, E_s\}\)-Transformationen bezeichnet, die zu den Matrizen \(C_r\) und \(C_s\) bzw. \(H_r\) und \(H_{s}\) bzw. \(E_{r}\) und \(E_s\) gehören, wobei \(C_{p}\) bzw. \(H_{p}\) bzw. \(E_{p}\) die bekannten Dreiecksmatrizen sind, die den \(C_p\)- bzw. \(H_p\)- bzw. \(E_p\)-Verfahren zur Limitierung einfacher Folgen zugrunde liegen. Die weitere Untersuchung bezieht sich auf die Frage nach der Äquivalenz der Cesàroschen und Hölderschen Verfahren bei restringierter Limitierung von Doppelfolgen. An einfachen Beispielen wird gezeigt, daß nicht allgemein der Satz gilt, daß für ganzes \(r\), \(s\geqq 0\) aus der restringierten \(C(r, s)\)-Limitierbarkeit einer Doppelfolge stets ihre restringierte \(H(r, s)\)-Limitierbarkeit zu demselben Limes folgt, und auch nicht umgekehrt. Jedoch besteht Äquivalenz wenigstens in demselben abgeschwächten Sinn wie bei gewöhnlicher Limitierung von Doppelfolgen (vgl. dazu \textit{C. R. Adams}, Trans. Amer. math. Soc. 34 (1932), 215-230 und \textit{R. P. Agnew}, Amer. J. Math. 54 (1932), 648-656; JFM 58.0231.*; 58\(_{\text{II}}\), 1049). Es gilt nämlich der folgende Satz: Eine für ganzes \(r\), \(s\geqq 0\) restringiert \(C(r, s)\)-limitierbare Doppelfolge \(s_{\mu \nu }\) ist dann und nur dann auch restringiert \(H(r, s)\)-limitierbar, wenn sie restringiert \(H(r, s)\)-beschränkt ist, entsprechend umgekehrt. Es ist \(C(r, s)\)-\(\kern-4pt\underset{\mu,\nu \to\infty }{[\lim]}\kern-3pt s_{\mu \nu }=H(r, s)\)-\(\kern-4pt\underset{\mu,\nu \to\infty }{[\lim]}\kern-3pt s_{\mu \nu }\), wenn beide Seiten dieser Gleichung existieren.