On Hausdorff's methods of summability. (Q2580634)

Es sei \(\mu _k\equiv \varDelta ^0\mu _k\) (\(k = 0\), 1,\dots ) eine Folge komplexer Zahlen und für \(p\geqq 1\), ganz, \(\varDelta ^{p-1}\mu _k-\varDelta ^{p-1}\mu _{k+1}=\varDelta ^p\mu _k\) gesetzt. Die komplexe Zahlenfolge \(s_k\) heißt durch das Hausdorffsche Verfahren (kurz \(H\)-Verfahren) \(T\sim\mu _k\) zur Summe \(s\) limitierbar, wenn \[ t_n=\textstyle \sum\limits_{k=0}^{n}\displaystyle {n\choose k}\varDelta ^{n-k}\mu _ks_k\to s \] strebt für \(n\to\infty \). Gewöhnliche Konvergenz \(C\) ist ein \(H\)-Verfahren, entstehend für \(\mu _k\equiv 1\). Ist \(T \buildrel\supset\over{\sim} C\), so heißt \(T\) regulär. Dabei soll \(T_2 \buildrel\supset\over{\sim} T_1\) ausdrücken, daß aus der Existenz von \(T_1\)-\(\lim\,s_n\) stets diejenige von \(T_2\)-\(\lim\,s_n\) folgt. Ist \(T_1 \buildrel\supset\over{\sim} T_2\) und \(T_2 \buildrel\supset\over{\sim} T_1\), so heißen die beiden Verfahren \(T_1\sim \mu _k^{(1)}\) und \(T_2\sim\mu _k^{(2)}\) äquivalent, ausgedrückt durch \(T_1\sim T_2\). Unter \(T_{2,1}\equiv T_2T_1\) werde dasjenige Verfahren verstanden, das durch Ausübung der \(T_2\)-Transformation auf die \(T_1\)-Transformation von \(s_n\) entsteht. \textit{F. Hausdorff} (Math. Z. 9 (1921), 74-109) bewies die beiden folgenden grundlegenden Sätze. (1) Es ist \(T_{2,1}\) ein \(H\)-Verfahren und \(T_{2,1}\sim\mu _k^{(1)}\mu _k^{(2)}\); es ist also \(T_1T_2=T_2T_1\). (2) \(T\sim\mu _k\) ist dann und nur dann regulär, wenn es eine Funktion \(\varPhi (t)\) gibt, deren Real und Imaginärteil im abgeschlossenen Intervall \(\langle 0;1\rangle \) je von beschränkter Schwankung und für die \(\mu _k=\int\limits_{0}^{1}t^k\,d\varPhi (t)\) ist \((k\geqq 0)\); ist \(T\) regulär, so schreiben wir \(T\sim\varPhi (t)\). Das Ziel der Arbeit ist eine Theorie der Stärke der \(H\)-Verfahren. Es werden Kriterien aufgestellt, die die Wirkungsfelder zweier \(H\)-Verfahren zu vergleichen gestatten. Als angemessenes Hilfsmittel benützt Verf. die Theorie der Fouriertransformation, die schon \textit{N. Wiener} und \textit{H. R. Pitt} (Proc. Cambridge philos. Soc. 34 (1938), 510-520; JFM 64.0182.*; vgl, ferner Duke math. J. 4 (1938), 420-436; JFM 64.0393.*) zur Untersuchung Tauberscher und Mercerscher Probleme auf die \(H\)-Verfahren anwandten. (Ein Mercerscher Satz sagt aus, daß ein Limitierungsverfahren einer gewissen Klasse äquivalent mit \(C\) ist.) Es sei \(T\sim\varPhi \) ein reguläres \(H\)-Verfahren. Die Anwendbarkeit der Wienerschen Methode wird ermöglicht durch Einführung der Mellintransformation \[ T(z)\textstyle \int\limits_{0}^{1}t^zd\varPhi (t) \] von \(\varPhi (t)\). \(T(z)\) werde die Momentfunktion von \(T\) genannt; sie ist regulär in der Halbebene \(\mathfrak Rz>0\) und stetig und beschränkt in \(\mathfrak Rz\geqq 0\). Es ist \(T_{2,1}(z)=T_1(z)T_2(z)\). Das Hauptresultat der Arbeit kann so zusammengefaßt werden: Die Stärke eines regulären \(H\)-Verfahrens ist weitgehend abhängig von der Verteilung der Nullstellen seiner Momentfunktion in der abgeschlossenen Halbebene \(\mathfrak Rz\geqq 0\). Dieser Zusammenhang ergibt sich auf folgendem Weg. (3) Es sei \(T_1\sim\mu _k^{(1)}\), \(T_2\sim\mu _k^{(2)}\) und \(T_2=\varTheta T_1\) mit einem regulären \(H\)-Verfahren \(\varTheta \); dann ist \(T_2 \buildrel\supset\over{\sim} T_1\). Dies ist einfach zu beweisen. Dagegen erfordert die folgende Umkehrung den vollen Hausdorffschen Beweisapparat. (4) Es sei \(T_1\sim\mu _k^{(1)}\), \(T_2\sim\mu _k^{(2)}\), \(T_2 \buildrel\supset\over{\sim} T_1\), und höchstens endlich viele \(\mu _k^{(1)}\) seien 0; dann gibt es genau ein reguläres \(H\)-Verfahren \(\varTheta \), so daß \(T_2=\varTheta T_1\) ist. Aus (3) folgt: (5) \(T_1\), \(T_{2}\) seien reguläre \(H\)-Verfahren; gehört \(\varTheta (z)=T_2(z)/T_1(z)\) zur Klasse \(M\), so ist \(T_2 \buildrel\supset\over{\sim} T_1\). (Eine Funktion heiße zur Klasse \(M\) gehörig, wenn sie Mellintransformation einer Funktion beschränkter Schwankung in \(\langle 0;1\rangle \) ist.) Aus (4) folgt: (6) \(T_1\), \(T_{2}\) seien reguläre \(H\)-Verfahren und \(T_2 \buildrel\supset\over{\sim} T_1\) verschwinden höchstens endlich viele \(\mu _k^{(1)}\), so gehört \(\varTheta (z)=T_2(z)/T_1(z)\) zur Klasse \(M\), was zur Folge hat, daß jede Nullstelle von \(T_1(z)\) in \(\mathfrak Rz\geqq 0\) auch Nullstelle von \(T_2(z)\) von mindestens derselben Ordnung ist. Wegen (5) ist die Frage von Wichtigkeit, wann der Quotient zweier zu \(M\) gehöriger Funktionen wieder zu \(M\) gehört, \(\varPhi (t)\) heiße in \(\langle 0;1\rangle \) von regulär beschränkter Schwankung, wenn \(\varPhi (t)=\varPhi _1(t)+\varPhi _2(t)\) ist, wobei \(\varPhi _2(t)\) absolut stetig und \[ \varPhi _1(t)=\textstyle \sum\limits_{k=0}^{\infty }D_k\delta (t-t_k)\quad(0\leqq t_k\neq t_{k+1}\leqq 1) \] mit \[ \delta (t)=\begin{cases} 1&(t<0),\\ 1&(t>0),\end{cases} \quad D_k=\begin{cases} \varPhi (+0)-\varPhi (0)&(t_k=0),\\ \varPhi (t_k+0)-\varPhi (t_k-0)&(0<t_k<1),\\ \varPhi (1)-\varPhi (1-0)&(t_k=1)\end{cases} \] ist (die als nicht verschwindend angenommenen \(D_{k}\), sind die Sprünge von \(\varPhi (t)\) an den Stellen \(t_k\)). In Verallgemeinerung eines Mercerschen Satzes von \textit{H. B. Pitt} gewinnt Verf. das folgende Ergebnis. (7) Es sei \(T_1\sim\varPhi _1(t)\), \(T_2\sim\varPhi _2(t)\), \(\varPhi _1(t)\) von regulär beschränkter Schwankung und \(|\,T_1(iy)\,|\geqq d>0\) für reelles \(y\). Es sei ferner \(\varTheta (z)=T_2(z)/T_1(z)\) regulär in \(\mathfrak Rz>0\), und stetig und beschränkt in \(\mathfrak Rz\geqq 0\). Dann gehört \(\varTheta (z)\) zur Klasse \(M\) (und es ist also \(T_2 \buildrel\supset\over{\sim} T_1\)). Ob in (6) die Voraussetzung, daß höchstens endlich viele \(\mu _k^{(1)}\) verschwinden, wegbleiben kann, bleibt ungeklärt. Ein Schritt in dieser Richtung ist die folgende Aussage: (8) \(T_1\), \(T_{2}\) seien reguläre \(H\)-Verfahren und \(T_2 \buildrel\supset\over{\sim} T_1\) dann ist \(T_2(z)/T_1(z)\) regulär in \(\mathfrak Rz>0\), ferner folgt aus \(T_1(\zeta )=0\) und \(\mathfrak R\zeta \geqq 0\), daß \(T_2(\zeta )=0\) ist. (7) ist dann nicht anwendbar, wenn \(T_1(z)\) Nullstellen auf \(\mathfrak Rz=0\) besitzt. Dies ist jedoch erlaubt in zwei weiteren Kriterien dafür, daß ein Quotient \(T_2(z)/T_1(z)\) zur Klasse \(M\) gehört. Sie fußen auf der Theorie der Mellintransformationen der Klasse \(L^2\). Im einen liegt die Hauptbescbrankung bei \(T_1(z)\)), im andern bei \(T_2(z)\). Wegen ihrer genauen Formulierung muß auf die Arbeit selbst verwiesen werden. Zum Schluß wendet Verf. die erhaltenen Ergebnisse an auf den klassischen Mercerschen Satz, auf die Äquivalenz der Hölderschen und Cesàroschen Limitierungsverfahren, und auf die von \textit{W. A. Hurwitz} und \textit{L. L. Silverman} (Trans. Amer. math. Soc. 18 (1917), 1-20; F. d. M. 46, 321) entwickelte Theorie der Verfahren \(T=\sum\limits_{n=0}^{\infty }a_nH_n\)(\(H_{n}\) die \(n\)-fach iterierten arithmetischen Mittel), die in der jetzigen allgemeineren Theorie enthalten ist.