Some relations between certain methods of summation of infinite series. (Q2580636)

Die Funktion \(f(t)\) sei meßbar für \(t>0\) und habe nicht verschwindende Momente \(c_n=\int\limits_{0}^{\infty }f(t)\,t^n\,dt\) (\(n = 0\), 1,\dots ). (Unter \(\int\limits_{0}^{\infty }\) sei \(\displaystyle \kern-3pt\lim_{a\to\infty }\int\limits_{0}^{a}\), unter \(\int\limits_{0}^{a}\) das Lebesguesche Integral verstanden.) Die Reihe (1) \(\sum\limits_{n=0}^{\infty }a_n\) heißt durch das (Moment-) Verfahren \(f\) summierbar (kurz \(f\)-summierbar) zum Wert \(s\), wenn \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!(2)} \hfill \textstyle \sum\limits_{n=0}^{\infty } \dfrac{a_nt^n}{c_n}\quad\text{beständig}\;\text{konvergent}\hfill} \] und \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!(3)} \hfill \textstyle \int\limits_{0}^{\infty } f(t)\sum\limits_{n=0}^{\infty }\dfrac{a_nt^n}{c_n}\,dt=s\hfill} \] ist. Insbesondere heißt das Verfahren in Beziehung auf die Reihe anwendbar (applicable), wenn (2) gilt, und wirksam (effective), wenn außerdem (3) gilt. Die Wahl \(f(t)=e^{-t}\) liefert das Borelsche Summierungsverfahren. Wählt man allgemeiner \[ f(t)=\frac{1}{\alpha }t^{\dfrac{1}{\alpha }-1}e^{-t^{ 1/\alpha }} \] mit einem \(\alpha > 0\), so kommt man zu einem Verfahren \((B, \alpha )\), das als Borel-Mittag-Lefflersches bezeichnet wird. Die Beziehung zwischen zwei verschiedenen \((B, \alpha )\)-Verfahren hat schon \textit{G. H. Hardy} (J. London math. Soc. 9 (1934), 153-157; JFM 60.0176.*) zum Gegenstand einer Untersuchung gemacht. Verf. setzt diese Untersuchung eingehend fort, verallgemeinert das Verfahren noch weiter und erzielt das folgende Ergebnis: Es sei \(f(t)=ce^{-t^{ c}}t^\gamma \), \(g(t)=de^{-t^{ d}}\) und \(d\geqq c>0\), \(\delta \geqq \gamma >-1\). Ferner sei die Reihe (1) \(f\)-summierbar zum Wert \(s\), und das Verfahren \(g\) sei auf (1) anwendbar. Dann ist (1) auch \(g\)-summierbar zum Wert \(s\). Da unter den angegebenen Bedingungen das Anwendungsfeld von \(f\) weiter ist als dasjenige von \(g\), sieht Verf. hier ein empirisches Prinzip bestätigt, welches oft zutrifft und lautet: Ist das Verfahren \(V_{1}\) weiter anwendbar als das Verfahren \(V_{2}\), und ist in Beziehung auf (1) \(V_{2}\) anwendbar und \(V_{1}\) wirksam, so ist auch \(V_{2}\) für (1) wirksam. Zum Schluß wird noch gezeigt: Ist die Reihe (1) \((B, \alpha )\)-summierbar für jedes \(\alpha > 0\) -- von selbst hat dann die \((B, \alpha )\)-Summe von (1) stets denselben Wert \(s\) --, so ist (1) auch durch das Mittag-Lefflersche Verfahren zum Wert \(s\) summierbar, d. h. es ist \[ \lim_{\delta \to+0}\textstyle \sum\limits_{n=0}^{\infty }\dfrac{a_n}{\varGamma (1+\delta n)}=s. \]