Über das neue Theorem von Obreschkoff. (Q2580642)

Die Zähler der \(k\)-ten Cesàroschen Mittel aus den \(n\) ersten Gliedern der Taylorreihe für \(f(x+h)\) lassen sich auch darstellen als lineare Aggregate von \(f(x + h)\), \(\dfrac{(-h)\,f(x+h)}{1!}\),\dots, \(\dfrac{(-h)^{n+k}f^{n+k}(x+h)}{(n+k)!}\) mit von \(f\) und \(h\) unabhängigen Koeffizienten und einem von einem Mittelwert von \(f^{(n+k+1)}(t)\) abhängigen Restglied. Der Koeffizient von \(\dfrac{(-h)^pf^{(p)}(x+h)}{p!}\) erweist sich nun als gleich dem Koeffizienten von \(x^k\) im Polynom \(x^p(1+x)^{n+k-p}\), d. h. er ist Null für \(p > n\) und ein Binomialkoeffizient für \(p\leqq n\). Für das Restglied läßt sich ein geschlossener Integralausdruck angeben. Damit ist der Satz von \textit{Obreschkoff} (Abh. Preuß. Akad. Wiss., math.-naturw. Kl. 1940, Nr. 4; F. d. M. 66, 581 (JFM 66.0581.*)) vollständig bewiesen.