Note on Lebesgue's constants in the theory of Fourier series. (Q2580658)

Für die Lebesgueschen Konstanten \( L_n = \dfrac 2\pi \int\limits_0^{\tfrac \pi{2}} \dfrac {|\sin\, Nt|}{\sin \, t} \, dt\), (\(N = 2n + 1\)), haben \textit{L.~Fejér} (Ann. sci. École norm. sup. (3) 28 (1911), 63-103; F. d. M. 42, 288 (JFM 42.0288.*)) die Formel \[ L_n = \frac 1N + \frac 2\pi \sum_{\nu = 1}^{n} \frac 1\nu \text{ tg } \frac {\nu \pi}{N}, \] \textit{G. Szegö} (Math. Z. 9 (1921), 163-166; F. d. M. 48, 307 (JFM 48.0307.*)) die Formel \[ L_n = \frac{16}{\pi^2}\sum_{\nu = 1}^\infty \left( 1 + \frac 13 + \cdots + \frac 1{2N\nu - 1}\right)\frac 1{4\nu^2 - 1} \quad \text{nebst}\quad (-1)^{r-1}\varDelta^r L_n > 0 \] für \(r = 1, 2,\dots\) bewiesen. Schließlich hat \textit{G. H. Watson} (Quart. J. Math. (Oxford Ser.) 1 (1930), 310-318; F. d. M. 56, 972 (JFM 56.0972.*)) eine asymptotische Entwicklung der Form \[ L_n \sim \frac 4{\pi^2} \left\{ \log\, N + \sum_{\nu=0}^\infty \frac {A_\nu}{N^{2\nu}}\right\} \] mit explizit angebbaren \(A_\nu\) aufgestellt. Verf. fügt diesen zwei neue Formeln an: \[ \begin{matrix} & \l \\ (\text{I}) & \;\; L_n = \int\limits_0^\infty \dfrac {\text{tgh }Ny}{\text{tgh }y} . \dfrac {dy}{y^2 + \dfrac {\pi^2}4}, \\ (\text{II}) & \; L_n = \dfrac 4{\pi^2} \int\limits_0^\infty \dfrac {\text{sinh }Ny}{\text{sinh }y} \log \text{ ctgh } \dfrac 12 Ny\, dy = \dfrac 4{\pi^2} \int\limits_0^\infty \left\{ 1 - \sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac {e^{-2kNy}}{4k^2-1}\right\} \dfrac {dy}{\text{sinh } y}. \end{matrix} \] (I) wird mit Hilfe komplexer Integration auf den Fejérschen, (II) ebenso auf den Lebesgueschen Ausdruck zurückgeführt. Aus der ersten leitet er die Ergebnisse von Watson, aus der zweiten diejenigen von Szegö her.