Differentially cyclical sets of functions. An extension of the concept of hyperbolic functions. (Q2580668)

Die Funktionen \(f_1 = \mathfrak C \mathfrak o \mathfrak s \, x\), \(f_2 = \mathfrak S \mathfrak i \mathfrak n \, x\) können definiert werden als die Lösungen der Gleichungen \(f_1^\prime = f_2\), \(f_2^\prime = f_1\) mit \(f_1 (0) = 1\), \(f_2 (0) = 0\). Durch Reihenentwicklung können hieraus das Additionstheorem und die algebraische Beziehung \(f_1^2 - f_2^2 = 1\) abgeleitet werden. Verf. verallgemeinert, indem er sich die Aufgabe stellt, die \(n\) Funktionen \(f_1, f_2, \dots, f_n\) so zu bestimmen, daß \(f_1^\prime = f_2, f_2^\prime = f_3, \dots, f_n^\prime = f_1\) wird. Diese Funktionen sind dann eindeutig durch ihre Anfangswerte \(f_1 (0), f_2 (0), \dots, f_n (0)\) oder durch die Werte einer Funktion samt ihrer Ableitungen bis zur \((n - 1)\)-ten Ordnung für \(x = 0\) festgelegt. Verf. wählt \(f_1 (0) = 1, f_1^\prime (0)= f_1^{\prime\prime} (0) \cdots = f_1^{(n-1)} (0)=0\). Dann ist \(\sum f_k = e^x\); \[ \begin{vmatrix} f_1 & f_n & \cdots & f_2 \\ f_2 & f_1 & \cdots & f_3 \\ \cdot & \cdot & & \cdot \\ \cdot & \cdot & & \cdot \\ \cdot & \cdot & & \cdot \\ f_n & f_{n-1} & \cdots & f_1 \end{vmatrix} = 1 \] ist die algebraische Relation, die \(f_1^2 - f_2^2 = 1\) für \(n = 2\) ergibt. Für \(n = 3\) werden die Additionstheoreme und die Beziehungen zwischen \(f_k(- x)\) und \(f_1(x), \dots, f_n(x)\) aufgestellt.