Su alcune relazioni limiti relative a classici polinomi. (Q2580676)

Verf. gestaltet ein früher von ihm gefundenes Ergebnis (P) (Boll. Un. mat. Ital. (2) 1 (1939), 27-35; F. d. M. \(65_{\text{I}}\), 283), das die Hermiteschen Polynome \(H_n(x)\) und die Laguerreschen \(L_n^{(\alpha)}(x)\) betrifft, und ein solches von \textit{Toscano} (T) (a. a. O. 337-339; F. d. M., ebd.) zu der Formel aus \[ H_n (x) = 2^n n! \lim_{a\to 0} \left[ a^n L_n ^{\left( \tfrac 1{2a^2} + \tfrac m{2a} + k\right)} \left( \frac {2x+m}{2a} + \frac 1{2a^2}\right) \right]; \tag{1} \] in ihr bedeuten \(m\) und \(k\) beliebige ganze Funktionen von \(a\). -- Mit Hilfe von (1) kommt er von einem Summensatze der \(L_n^{(\alpha )} (x)\) zu dem bekannten der \(H_n(x)\). Darauf läßt er einen Beweis von \((T)\) folgen, der sich der Erzeugenden der \(H_n(x)\) und \(L_n^{(\alpha )} (x)\) bedient. -- Weiter gewinnt er den Grenzwert \[ \lim_{\alpha \to \infty} \left[ \left( \frac x\alpha\right)^n L_n^{(r\alpha+\beta )} \left( \frac {a\alpha}x\right) \right] = \frac {(rx - a)^n}{n!}, \tag{2} \] und zwar aus der ausdrücklichen Darstellung des Polynoms \(L_n^{(\alpha )}\) und mit Benutzung der Stirlingschen Formel. Dann begründet er auf mehrere Arten den bekannten Grenzübergang \((G)\), der von den Gegenbauerschen Polynomen \(C_n^\nu (x)\) zu den \(H_n\) führt. Er schließt mit der -- möglicherweise neuen -- Formel \[ \lim_{\nu \to \infty} \left[\nu^{-n} C_n^\nu \left( \frac {2x^2}\nu - 1\right) \right] = \frac {( - 2)^n}{n!}. \tag{3} \]