Sulla sornmabilità forte delle serie di Legendre. (Q2580681)

Verf. beweist folgenden Satz: \(f(x)\) sei meßbar und \(|f(x)|^r\) im Lebesgueschen Sinn summierbar mit \(r > 1\); \(a_m(m = 0, 1, 2,\ldots)\) seien die Koeffizienten der Entwicklung von \(f(x)\) nach Legendreschen Polynomen \(P_m(x)\), also \[ a_m = (m + \tfrac12)\int\limits^{+1}_{-1} f(x) P_m(x)\,dx,\quad s_\nu(x) = \sum_{m=0}^\nu a_m P_m(x) \] die Teilsummen dieser Reihe. Ist dann \[ \int\limits_0^h|f(x\pm t) - f(x)|^rdt=o(h) \;\;\text{für} \;\;\;-1<x<+1, \] so gilt \[ \lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n+1}\sum_{\nu=0}^n |s_\nu(x) - f (x)|^k = 0 \;\;\;\text{für alle}\;\;\;k > 0. \] Dieser Satz wurde von Hardy und Littlewood für Fouriersche Reihenentwicklungen bewiesen. Der Beweis des Verf. schließt sich an den Gedankengang an, den Hobson bei der Untersuchung der Konvergenz von Entwicklungen nach Legendreschen Polynomen verwendet.