Sur les valeurs lacunaires d'une relation à deux variables. I, II. (Q2580734)

I. \(F(x, \,y)\) sei eine ganze Funktion oder eine für beliebiges \(x\) und für \(y \in d\) reguläre Funktion. Ein Wert \(y_i\) heißt Lückenwert für \(F(x, \,y) = 0\), wenn \(F(x, \,y_i)\) keine Nullstelle besitzt. Verf. zeigt, daß die Menge der Lückenwerte die Kapazität Null besitzt, wenn, nicht \(F(x, \,y)=h(y) e^{G(x, \,y)}\) ist. II. \(F(x, \,y)\) sei eine für beliebiges \(x\) und \(y \in d\) reguläre Funktion und \(M(r, \,g)\) das Maximum von \(|\,F(x, \,y)\,|\) im Gebiet \(|\,x\,| < r\), \(y \in g\) (mit \(g \subset d\)). Auf Grund einer Konvexitätseigenschaft zeigt Verf., daß aus der Endlichkeit der Ordnung von \(\log \,M(r, \,g)\) in \(r\) für ein besonderes Gebiet \(y\) diese Eigenschaft für beliebiges \(g\) folgt. \(F(x, \,y)\) heißt dann von endlicher Ordnung in \(x\). Im Sonderfall einer ganzen Funktion sind alle Ausdrücke \(\log \,M(r, \,g)\) von derselben Ordnung \(\alpha\), die dann Ordnung von \(F(x, \,y)\) in \(x\) heißt. -- Für eine Funktion endlicher Ordnung zeigt Verf., daß die Lückenwerte sich im Innern von \(d\) nicht häufen. Für eine ganze Funktion der Ordnung \(\alpha\) in \(x\) ist die Anzahl der Lückenwerte mit \(|\,y\,|<r'\) kleiner als \(N \,log \,M(1, \,er')+h\), wo \(N\) die unmittelbar auf \(\alpha\) folgende ganze Zahl und \(h\) eine Konstante ist. Ist in diesem Fall \(y = 0\) ein Lückenwert, so ist der reziproke Betrag der kleinsten Wurzel \(y(x)\) von \(F(x,\, y) = 0\) nach oben beschränkt vermöge \(F(0, \,0)\) und \(M(kr, \,1)\) mit \(r = |\,x\,|\) und \(k > 1\).