Definition des fonctions plurisousharmoniques. (Q2580736)

Es wird der Begriff der subharmonischen Funktion (siehe \textit{F. Riesz}, Acta math., Djursholm, 48 (1926), 329-343; F.~d.~M. 52, 497) von der komplexen Ebene auf den Raum von \(n\) komplexen Veränderlichen ausgedehnt. Verf. definiert zunächst: Die Funktion \(V(M)\) heißt subharmonisch auf der analytischen Fläche \(z_k \equiv \varphi_k(t)\), \(k = 1, \,2,\ldots \!, n\), wenn \(V\) als Funktion von \(t\) subharmonisch ist. \(V(M)=V(z_1,\ldots \!, z_n)\) heißt \textit{pluralsubharmonisch} im Gebiete \(\mathfrak{G}\) des \(2n\)-dimensionalen Raumes, wenn sie 1. in \(\mathfrak{G}\) nach, oben beschränkt und 2. auf jedem analytischen Flächenstück in \(\mathfrak{G}\) subharmonisch ist (wobei die Konstante \(-\infty\) zugelassen ist). Es wird gezeigt: Notwendig und hinreichend dafür, daß \(V\) in \(\mathfrak{G}\) pluralsubharmonisch ist, ist das Bestehen der Ungleichung \[ V(M) \leqq L(V, \,M, \,\gamma), \] wo \(\gamma\) einen beliebigen Polykreis \(|\,z_k-z_k^{(0)}\,| \leqq r_k\) in \(\mathfrak{G}\) um \(M\), \(r_k > 0\), und \(L\) den Mittelwert von \(V\) auf dem Rande des Polykreises darstellt.