Über das asymptotische Verhalten der Lösungen gewisser linearer gewöhnlicher Differentialgleichungen. (Q2580764)

Im Intervall \(a \leqq x<\infty\) mit \(a > 0\) seien \(h(x)\) und \(g_{\nu}(x)\) \((\nu=0, \,1,\ldots \!, n - 1)\) stetig, und es mögen die Integrale \[ \int\limits_{a}^{\infty} h(x)\,dx, \quad \int\limits_{a}^{\infty} x^{n-1-\nu} \,|\,g_{\nu}(x)\,| \,dx \qquad (\nu=0, \,1,\ldots \!, n - 1) \] existieren. Dann existieren für jede Lösung \(y(x)\) der Differentialgleichung \[ \sum_{\nu=0}^{n} g_{\nu}(x) \,y^{(\nu)}=h(x) \qquad (g_n=1) \] die Grenzwerte \[ \lim_{x \to \infty} (n-1-\nu)! \,x^{\nu+1-n} \,y^{(\nu)}(x) \qquad (\nu=0, \,1,\ldots \!, n - 1) \] und haben alle denselben Wert. Zugleich ergibt sich damit die Existenz einer Lösung, welche die Differentialgleichung und für beliebig gegebene Konstante \(A_{\nu}\) die Randbedingungen \[ y^{(\nu)}(a)=A_{\nu} \,(\nu=0, \,1,\ldots \!, n - 1), \quad \lim_{x \to \infty} y^{(n-1)}(x) \quad \text{existiert}, \] erfüllt.