Sulla stabilità delle soluzioni per l'equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti periodici. (Q2580767)

In der Differentialgleichung \[ y^{\prime \prime}+f(x)\,y^{\prime}+g(x)\,y=0 \] seien \(f(x)\) und \(g(x)\) periodisch mit gemeinsamer Periode \(\omega\). Es wird gefragt, ob es eine ``stabile'' Lösung gibt, d. h. eine Lösung, die für \(x \to \infty\) gegen Null strebt. Früher hatte Verf. (Atti Accad. naz. Lincei, Rend., Cl. Sci. fis. mat. natur. (6) 19 (1934), 560-566; F.~d.~M. 60\(_{\text{I}}\), 387) gezeigt, daß es eine solche Lösung gibt, wenn \(f(x) \leqq 0\) und \(g(x) \leqq 0\) ist. Er fügt jetzt hinzu, daß es eine solche Lösung auch gibt, wenn \(f(x) \geqq 0\), \(f(0)=0\), \(g(x) \geqq 0\) (aber keine Funktion in einem Teilintervall identisch Null) ist, und wenn außerdem die folgenden Ungleichungen für \(0 < x < \omega\) erfüllt sind: \[ x \int\limits_{0}^{x} g(\xi)\,d\xi<1, \;\; f(x) \int\limits_{0}^{x} g(\xi)\,d\xi< g(x) \int\limits_{0}^{x} \xi \,g(\xi)\,d\xi, \] \[ \int\limits_{0}^{x} f(\xi)\,d\xi<1-\int\limits_{0}^{x} \xi \,g(\xi)\,d\xi, \;\; f(x)<g(x) \int\limits_{0}^{x} \xi^2 \,g(\xi)\,d\xi. \]