Un criterio d'esistenza relativo a un problema al contorno per un'equazione differenziale ordinaria d'ordine \(n\). (Q2580790)

Es handelt sich um die Differentialgleichung \[ y^{(n)}=f(x,y,y',\ldots \!,y^{(n-1)}); \] gesucht ist eine Lösung \(y(x)\), die an \(n\) verschiedenen Stellen \(x_1<x_2<\cdots <x_n\) beliebig gegebene Werte \(y(x_{\nu})=c_{\nu}\) annimmt. Es gibt mindestens eine solche Lösung, wenn folgende Voraussetzungen erfüllt sind: (a) \(f(x,y,y',\ldots \!,y^{(n-1)})\) ist eine stetige Funktion von \(y,y',\ldots \!,y^{(n-1)}\) und eine meßbare Funktion von \(x\) im Bereich \[ a \leqq x \leqq b, \quad -\infty < y,y',\ldots \!,y^{(n-1)} < + \infty; \] (b) zu jeder positiven Zahl \(M\) gibt es eine für \(a \leqq x \leqq b\) summierbare Funktion \(\varphi_M(x)\), so daß für alle hinreichend großen \(M\) \[ \int\limits_{a}^{b} \varphi_M(x)\,dx<1 \; \text{ und } \; |\, f(x,y,y',\ldots \!,y^{(n-1)}) \,| \leqq M \varphi_M(x) \] in dem Bereich \[ a \leqq x \leqq b, |\, y^{(\nu)}-G^{(\nu)}(x) \,| \leqq \frac{(b-a)^{n-\nu-1}}{(n-\nu-1)!} M \quad (\nu=0,1,\ldots \!, n-1) \] ist; dabei bedeutet \(G(x)=G^{(0)}(x)\) das Polynom vom Grad \(\leqq n - 1\), das die Werte \(G(x_{\nu}) = c_{\nu}\) annimmt.