Sul calcolo delle vibrazioni trasversali di un'asta elastica soggetta a sforzo assiale. (Q2580865)

Betrachtet wird die partielle Differentialgleichung \[ \frac {\partial^2}{\partial x^2} \left(EI \frac {\partial^2 u}{\partial x^2}\right) -\frac {\partial}{\partial x} \left(\varPi \frac {\partial u}{\partial x}\right) +\mu \frac {\partial^2 u}{\partial t^2} = 0 \tag{1} \] im Rechteck \(R\) \((0 \leqq x \leqq l,\;0 \leqq t \leqq T)\) unter den Randbedingungen \[ u = \frac {\partial u}{\partial x} = 0 \quad\text{ für }\quad x = 0\quad \text{ und }\quad x = l \tag{2} \] und den Anfangsbedingungen \[ u(x,0) = f_0 (x), \quad \frac {\partial u(x,0)}{\partial t} = f_1 (x). \tag{3} \] \(I^{\prime\prime} (x)\), \(\varPi^\prime (x)\), \(f_0 (x)\), \(f_1 (x)\) seien beschränkt und stetig, \(I > 0\), \(\mu > 0\). Das Randwertproblem der gewöhnlichen Differentialgleichung \[ L(u) - \lambda \mu u \equiv \frac {d^2}{dx^2}\left(EI \frac {d^2 u}{dx^2} \right) - \frac {d}{dx}\left(\varPi \frac {d u}{dx} \right) + (c-\lambda ) \mu u = 0, \tag{4} \] \[ u = \frac {d u}{dx} = 0 \quad\text{ für } \quad x = 0 \quad\text{ und } \quad x = l \tag{5} \] habe die Eigenwerte \(\lambda^{(s)}\) und die Eigenfunktionen \(\varphi^{(s)} (x)\) (normiert und orthogonal mit der Gewichtsfunktion \(\mu (x)\)). Hinsichtlich des Problems (1), (2), (3) wird gezeigt: \textit{Eindeutigkeitssatz}: Jede echte Lösung \(u(x, t)\) wird im Mittel (mit dem Gewicht \(\mu (x)\)) dargestellt durch die Reihe \[ u(x, t)\sim \sum_{s=1}^\infty u^{(s)} (t) \varphi^{(s)}(x), \tag{6} \] worin mit \(\nu_s = \sqrt{| \lambda^{(s)} - c |}\) \[ u^{(s)}(t) = \left\{ \begin{matrix} \quad & \l \\ \mathfrak C \mathfrak o \mathfrak s \;\nu_s t \int\limits_0^l \mu f_0 \varphi^{(s)} \, dx + \dfrac 1{\nu_s} \mathfrak S \mathfrak i \mathfrak n \;\nu_s t \int\limits_0^l \mu f_1 \varphi^{(s)} \, dx & (\lambda^{(s)} < c), \\ \int\limits_0^l \mu f_0 \varphi^{(s)} \, dx + t\int\limits_0^l \mu f_1 \varphi^{(s)} \, dx & (\lambda^{(s)} = c), \\ \cos\, \nu_s t \int\limits_0^l \mu f_0 \varphi^{(s)} \, dx + \dfrac 1{\nu_s} \sin \nu_s t \int\limits_0^l \mu f_1 \varphi^{(s)} \, dx & (\lambda^{(s)} > c). \end{matrix} \right. \] \textit{Existenzsatz}: (6) konvergiert sicher absolut und gleichmäßig in \(R\) und liefert damit eine Lösung, wenn von den Funktionen \(\mu\), \(\varPi\), \(I\), die Ableitungen bis zur 4., 5. bzw. 6. Ordnung, von \(f_0\) und \(f_1\) bis zur 8. Ordnung beschränkt und stetig sind und die Bedingungen \[ f_\varrho = \frac {df_\varrho}{dx} = L(f_\varrho) = \frac {d}{dx} L(f_\varrho ) = 0 \quad\text{ für }\quad x = 0 \quad \text{ und }\quad x=l \qquad (\varrho = 0,1) \] erfüllt werden. Anwendung auf den Fall, daß \(\mu\), \(\varPi\), \(I\) konstant sind.