Störungstheorie der Spektralzerlegung. V. (Q2580914)

Sei \(A(\varepsilon)\) eine vom reellen ``Störungsparameter'' \(\varepsilon\) \textit{regulär} abhängige Schar von selbstadjungierten Operatoren des Hilbertschen Raumes \(\mathfrak H\) (vgl. Mitteilung III, Math. Ann., Berlin, 116 (1939), 555-570; F. d. M. \(65_{\text{I}}\), 510). \ \(A(0)\) möge ein in \(\mathfrak H\) vollständiges orthonormales System von Eigenelementen \(\varphi_k\) besitzen, die zugehörigen Eigenwerte \(\lambda_k\) sollen sich im Endlichen nicht häufen (d. h. \(A(0)\) besitzt ein \textit{diskretes Spektrum}). Nach einem allgemeinen Satze des Verf. (s. Mitteilung III) gibt es zu jedem Index \(k\) in einer Umgebung von \(\varepsilon = 0\) konvergente Potenzreihen \(\varphi_k(\varepsilon) = \varphi_k + \varepsilon \varphi_k^{(1)} + \cdots\) und \(\lambda_k(\varepsilon) = \lambda_k + \varepsilon \lambda_k^{(1)}+ \cdots\) derart, daß \(\varphi(\varepsilon)\) ein zum Eigenwert \(\lambda_k(\varepsilon)\) gehöriges normiertes Eigenelement von \(A(\varepsilon)\) ist. Der Konvergenzradius wird im allgemeinen von \(k\) abhängen und kann mit wachsendem \(k\) gegen 0 rücken. Das Hauptergebnis der Arbeit ist nun Folgendes: Wenn \(A(\varepsilon)\) in einer festen, von \(\varepsilon\) unabhängigen Linearmannigfaltigkeit \(\mathfrak A\) definiert ist und \(A(\varepsilon)f\) für jedes \(f \in \mathfrak A\) regulär (d. h. in einer von \(f\) unabhängigen Umgebung von \(\varepsilon = 0\) in eine Potenzreihe entwickelbar) ist, dann können die \(\varphi_k(\varepsilon)\) und \(\lambda_k(\varepsilon)\) \((k = 1, 2, \dots)\) in einem gemeinsamen Intervall \(-\varrho < \varepsilon < \varrho\) durch analytische Fortsetzung längs reeller \(\varepsilon\) erklärt werden; für jedes \(\varepsilon\) aus diesem Intervall bestehen die Eigenschaften: \ 1) ist \(A(\varepsilon) \varphi_k(\varepsilon) = \lambda_k(\varepsilon) \varphi_k(\varepsilon)\) \((k = 1, 2, \dots)\), \ 2) \(\varphi_1(\varepsilon)\), \(\varphi_2(\varepsilon), \dots\) bilden ein vollständiges orthonormales System in \(\mathfrak H\), \ 3) \(| \lambda_k(\varepsilon) | \to \infty\) für \(k \to \infty\). Für halbbeschränkte Operatoren gilt der Satz auch dann, wenn nicht der Definitionsbereich von \(A(\varepsilon)\) selbst, sondern nur der Definitionsbereich der zugehörigen \textit{Form} von \(\varepsilon\) unabhängig ist. -- Ein entsprechender Satz gilt ferner für \textit{vollstetige} Operatoren. Dann ist aber die Aussage 3 durch die folgende zu ersetzen: \(\lambda_k(\varepsilon) \to 0\) für \(k \to \infty\), und jedes \(\lambda_k(\varepsilon)\) ist im Intervall \(-\varrho < \varepsilon < \varrho\) entweder \(\equiv 0\), oder \(\neq 0\), und diejenigen unter den \(\varphi_k(\varepsilon)\), die zu verschwindenden Eigenwerten gehören, sind von \(\varepsilon\) unabhängig. -- Die folgenden, im Beweis benützten Hilfssätze mögen auch für sich Interesse verdienen: Wenn \(A\) ein selbstadjungierter Operator mit diskretem Spektrum ist, dann hat jeder selbstadjungierte Operator, dessen Definitionsbereich in demjenigen von \(A\) enthalten ist, ebenfalls ein diskretes Spektrum. Wenn der Wertebereich eines selbstadjungierten Operators \(A\) im Wertebereich eines vollstetigen selbstadjungierten Operators \(B\) enthalten ist, dann ist auch \(A\) vollstetig. (Teil IV, Math. Ann., Berlin, 117 (1940), 356-382; F. d. M. 66, 551 (JFM 66.0551.*).)