Un'osservazione sopra le successioni di funzioni convergenti verso una funzione olomorfa. (Q2581916)

Verf. beweist das folgende Theorem: In einer zusammenhängenden offenen Menge \(D'\) mögen die absolut stetigen Funktionen \(u_n(x, y)\) und \(v_n(x, y)\) gegen Grenzwerte \(U(x, y)\) bzw. \(V(x,y)\) konvergieren, und zwar so, daß auf jeder abgeschlossenen Teilmenge \(E\) von \(D'\): 1. die Konvergenz gleichmäßig ist, 2. eine Zahl \(A > 0\) und eine stetige, für \(t\geqq 0\) definierte, nicht negative Funktion \(\varPhi(t)\) existiert, für welche gilt: \[ \lim_{t\to+\infty}\frac{\varPhi(t)}t=+\infty, \tag{1} \] \[ \iint\limits_E\!\!\left\{\! \varPhi\left(\left|\frac{\partial u_n}{\partial x} \right|\right)\!{+} \varPhi\left(\left|\frac{\partial u_n}{\partial y}\right| \right)\!\right\}\!dxdy{\leqq A},\;\iint\limits_E\!\!\left\{\! \varPhi\left(\left|\frac{\partial v_n}{\partial x} \right|\right)\!{+} \varPhi\left(\left|\frac{\partial v_n}{\partial y}\right| \right)\!\right\}\!dxdy{\leqq} A. \tag{2} \] Wenn dann noch fast überall in \(D'\) gilt: \[ \frac{\partial u_n}{\partial x}- \frac{\partial v_n}{\partial y}\to 0, \quad \frac{\partial u_n}{\partial y}+ \frac{\partial v_n}{\partial x}\to 0, \] so ist \(f(z) = U + iV\) analytisch in \(D'\).