Necessary conditions in the theory of interpolation in the complex domain. (Q2581918)

Es sei \(\mathfrak C\) eine abgeschlossene, beschränkte Punktmenge der komplexen \(z\)-Ebene. Unter \(A_{\mathfrak C}\) werde die Klasse der auf \(\mathfrak C\) eindeutigen analytischen Funktionen \(f(z)\) verstanden. Weiter bedeute \[ M: \{a^{(1)}_1\}, \{a^{(2)}_1,a_2^{(2)}\},\ldots, \{ a_1^{(n)},a_2^{(n)},\ldots,a_n^{(n)}\}, \ldots \] eine unendliche Menge von (nicht notwendig verschiedenen) endlichen Punkten der \(z\)-Ebene, die keinen Häufungspunkt außerhalb von \(\mathfrak C\) aufweist. Irgend eine Funktion \(f(z)\in A_{\mathfrak C}\) ist dann in den Punkten \(\{ a_1^{(n)},a_2^{(n)},\ldots,a_n^{(n)}\}\) von \(M\) erklärt, sobald \(n\) hinreichend groß ist; für diese \(n\) existiert ein eindeutig bestimmtes Polynom \(L_n (z; f)\) höchstens \((n-1)\)-ten Grades, das \(f(z)\) in den genannten Punkten interpoliert. \textit{L. Kalmár} (Mat. fizik. Lapok 33 (1926), 120-149) hat unter geeigneten Voraussetzungen über \(\mathfrak C\) die Frage untersucht, welchen notwendigen Bedingungen die Punktmenge \(M\) genügen muß, damit für alle \(f(z)\in A_{\mathfrak C}\) das Bestehen der Limesbeziehung \[ \lim_{n\to\infty}L_n(z;f)=f(z) \tag{1} \] in \(\mathfrak C\) behauptet werden kann. Seine Resultate besagen in der von \textit{J. L. Walsh} (Interpolation and approximation by rational functions in the complex domain, New York 1935; F. d. M. \(61_{\text I}\), 315) angegebenen etwas verallgemeinerten Fassung: (A) Es sei \(\mathfrak C\) ein abgeschlossenes Jordangebiet, und es seien die Punkte der Menge \(M\) auf dem Rand \(R\) von \(\mathfrak C\) gelegen. Eine notwendige Bedingung dafür, daß die Beziehung (1) für jede Funktion \(f(z)\in A_{\mathfrak C}\) gleichmäßig auf \(\mathfrak C\) besteht, ist die Gleichverteilung der Punkte von \(M\) auf \(R\). (Dabei ist die Gleichverteilung der Punkte von \(M\) auf der Jordankurve \(R\) folgendermaßen definiert: Die analytische Funktion \(w =\varphi(z)\) bilde das Äußere von \(\mathfrak C\) so auf \(|w|>1\) ab, daß sich \(z = \infty\) und \(w = \infty\) entsprechen. Dann heißt die Menge \(M\) auf \(R\) gleichverteilt, wenn bei der längs \(R\) noch stetigen Abbildung die Menge \(M\) in eine Bildmenge übergeht, die auf dem Einheitskreis im Sinne von Weyl gleichverteilt ist.) (B) Die Punktmenge \(\mathfrak C\) sei so beschaffen, daß ihre Komplementärmenge \(K\) zusammenhängend und regulär ist in dem Sinne, daß zu \(K\) eine Greensche Funktion \(G(x, y)\) mit dem Pol \(\infty\) existiert. Ferner sei \(\varphi(z) =e^{G+iH}\), wo \(H(x, y)\) die zu \(G (x, y)\) konjugierte harmonische Funktion bedeutet, und es sei \(\varDelta\) der transfinite Durchmesser von \(\mathfrak C\). Eine notwendige Bedingung dafür, daß (1) für jede Funktion \(f(z)\in A_{\mathfrak C}\) gleichmäßig auf \(\mathfrak C\) gilt, ist das Bestehen der Relation \[ \lim|\omega_n(z)|^{\tfrac1n}=\varDelta|\varphi(z)| \quad\text{für}\quad \omega_n(z)=\prod_{k=1}^n \left(z-a_k^{(n)}\right) \] gleichmäßig auf jeder beschränkten abgeschlossenen Punktmenge aus dem Innern von \(K\). L. Kalmár und J. L. Walsh erschließen die Notwendigkeit der unter (A) bzw. (B) genannten Bedingung für \(M\) allein aus der Gültigkeit der Limesbeziehung (1) für die Funktionen einer Unterklasse \(A_{\mathfrak C}'\) von \(A_{\mathfrak C}\); diese Unterklasse \(A_{\mathfrak C}'\) besteht aus den Funktionen der Form \(f(z) =\dfrac1{t-z}\), wo der Parameter \(t\) die sämtlichen Punkte von \(K\) durchläuft. Das Hauptresultat der vorliegenden Arbeit besagt nun darüber hinaus, daß die unter (A) bzw. (B) genannte Bedingung für \(M\) (im Falle (B) unter etwas weitergehenden Einschränkungen für \(\mathfrak C\)) schon dann notwendig erfüllt sein muß, wenn in einem einzigen inneren Punkt \(z_0\) von \(\mathfrak C\) für alle Funktionen \(f(z)\in A_{\mathfrak C}'\) die Beziehung \[ \varlimsup_{n\to\infty}|L_n(z_0;f)|^{\frac 1n}\leqq 1 \tag{2} \] besteht. Verf. gelangt zu diesem Resultat über eine Reihe von Sätzen, die zum Teil an sich von Interesse sind: Sie enthalten neue hinreichende Bedingungen für die Konvergenz der Folge \(\{L_n(z;f)\}\), eine neue hinreichende Bedingung für die Gleichverteilung einer Punktmenge auf einer Jordankurve sowie eine Ungleichung für die in (B) auftretenden Polynome \(\omega_n(z)\). Wie Verf. beiläufig bemerkt, läßt sich aus dieser Ungleichung z. B. ein von \textit{E. Lammel} (Math. Z. 46 (1940), 104-116; F. d. M. 66, 346 (JFM 66.0346.*)) bei seinen Untersuchungen über die Approximation analytischer Funktionen durch rationale Funktionen gewonnenes Resultat über die Polynome \(\omega_n(z)\) mühelos entnehmen.