On integer-valued entire transcendental functions. I, II (Q2581940)

\textbf{I.} Es wird der Satz von Pólya-Hardy über sogenannte ganzwertige ganze Funktionen erweitert: Nimmt eine ganze Funktion für \(z =0,1,2,3,\ldots\) lauter ganze rationale Werte an, ist sie also ``ganzwertig'', und gilt \[ \limsup_{r\to\infty}\frac{\log M(r)}{r}\leqq\log 2+\frac1{1500}, \] so ist sie notwendig von der Form \(P(z)\cdot 2^z + Q (z)\), wo \(P\) und \(Q\) Polynome sind. In der Hauptsache ist zu zeigen, daß die Werte in \(z= 0,1,2,\ldots\) durch eine Funktion der obigen Form interpoliert werden können. Weil gegebene und interpolierende Funktion den Typus \(\pi\) der Ordnung 1 nicht erreichen, sind beide identisch. \textbf{II.} Verf. beweist mit verwandten Methoden: Wenn das Wachstum einer ganzwertigen ganzen Funktion \(f(z)\) den Typus \(\log\dfrac{3+\sqrt5}2+2\cdot 10^{-6}\) der Ordnung 1 nicht übersteigt, so ist sie notwendig von der Form \[ f(z)=P_1(z)\left(\frac{3+\sqrt5}2\right)^z+ P_2(z)\left(\frac{3-\sqrt5}2\right)^z+P_3(z), \] wo \(P_1\), \(P_2\) und \(P_3\) Polynome sind. Dies verallgemeinert ein Resultat von \textit{F. Carlson} (Math. Z. 11 (1921), 1-23; F. d. M. 48, 387 (JFM 48.0387.01)).