Analytic curves. (Q2581954)

Verf. verallgemeinert Ergebnisse, die er mit \textit{H. Weyl} in einer früheren Arbeit gefunden hatte [Ann. Math. (2) 39, 516--538 (1938; JFM 64.1065.02)]. Die benutzten Methoden sind im wesentlichen dieselben wie dort. \(\mathfrak F\) sei eine gegebene Riemannsche Fläche, \(G_0\) ein ein für allemal fest gewählter kompakter Teilbereich von \(\mathfrak F\), \(G\) ein Gebiet mit kompaktem Rand, das \(G_0\) im Innern enthält. Die Ränder \(\varGamma_0\) und \(\varGamma\) von \(G_0\) und \(G\) seien aus endlich vielen einfachen Kurven mit stetiger Tangente gebildet. Auf \(\mathfrak F\) werde die stetige Funktion \(\varPhi^*\) definiert durch \(\varPhi^* = 0\) in \(\mathfrak F-G\), \(\varPhi^*=1\) in \(G_0\), \(\varPhi^*\) harmonisch in \(G-G_0\). \(\dfrac{\partial \varPhi^*}{\partial n}\) sei die Normalableitung von \(\varPhi^*\) in einem Punkt von \(\varGamma_0\) oder \(\varGamma\) mit ins Innere von \(G - G_0\) gerichteter Normale. Verf. setzt \[ \varPhi=C^{-1}\varPhi^*\quad \text{mit} \quad C=-\frac1{2\pi}\int\limits_{\varGamma_0}\frac{\partial\varPhi^*}{\partial n}ds =\frac1{2\pi}\int\limits_\varGamma\frac{\partial\varPhi^*}{\partial n}ds \] und \(d\sigma=\dfrac{\varepsilon}{2\pi}\dfrac{\partial\varPhi^*}{\partial n}ds\) mit \(\varepsilon=+1\) auf \(\varGamma_0\), \(\varepsilon=-1\) auf \(\varGamma\). Andererseits sei im Raum \(\mathfrak R\) der homogenen komplexen Koordinaten \(x_0,x_1, \ldots, x_k\), eine analytische Kurve \(\mathfrak C\) definiert durch Angabe der auf \(\mathfrak F\) meromorphen Funktionen \(x_i/x_k\). Die Kurve \(\mathfrak C\) werde durch die Ebene \(\alpha\) der Gleichung \(\sum\alpha_i x_i = 0\) geschnitten. Dann führt Verf. folgende Größen ein: \[ \begin{gathered} N(G;\alpha)=\sum\varPhi(\mathfrak p_0), \qquad m(G,\alpha)=\int\limits_\varGamma\log\|\alpha x\|^{-1}\,d\sigma, \\ m_0(G;\alpha)= \int\limits_{\varGamma_0}\log\|\alpha x\|^{-1}d\sigma \quad\text{mit}\quad \|\alpha x\|^2=\frac{\left|\sum\alpha_ix_i\right|^2} {\sum|\alpha_i|^2\sum|x_i|^2}, \end{gathered} \] wobei die erste Summe über die Schnittpunkte \(\mathfrak p_0\) von \(\mathfrak C\) und \(\alpha\) erstreckt wird. Verf. zeigt, daß der Ausdruck \[ T(G) = N(G;\alpha) + m(G;\alpha) - m_0(G;\alpha) \] unabhängig von der Ebene \(\alpha\) ist. Daraus folgt, daß \(T(G)\) gleich dem Mittel \(N(G)\) von \(N(G;\alpha)\) ist für alle Ebenen \(\alpha\), und daß \[ T (G) = N^*(G; a) + m^*(G;a) - m^*_0(G;a) \] ist, wenn die gestirnten Größen die Mittel in bezug auf die Menge der Ebenen \(\alpha\) durch einen gegebenen Punkt \(a\) bedeuten (Erster Hauptsatz). Bisher war die Ordnung \(T(G)\) von \(\mathfrak C\) mit Hilfe einer Bezugsebene \(\alpha\) definiert worden; geht man in gleicher Weise von einer algebraischen Fläche der Ordnung \(n\) aus, so erhält man \(nT(G)\). Ferner untersucht Verf. den Einfluß einer Projektion der Kurve \(\mathfrak C\) auf die Ordnung \(T(G)\). Die genannten Eigenschaften gelten in gleicher Weise für die Kurve \(\mathfrak C_l\) im Raum \(\mathfrak R_l\) von \(k_l=\dbinom{k+1}l-1\) Dimensionen, dessen Punkte als Koordinaten die Wronski-Determinanten der \(x_i\) zu je \(l\) haben. Verschwinden alle diese Größen in einem Punkt \(\mathfrak p\) von \(\mathfrak F\), so sei \(d_l\) die Ordnung dieser gemeinsamen Nullstelle. Verf. setzt \[ V_l(G)=\sum[d_{l+1}(\mathfrak p)-2d_l(\mathfrak p)+ d_{l-1}(\mathfrak p)]\varPhi(\mathfrak p). \] Nach Verallgemeinerung des zweiten Hauptsatzes von H. und J. Weyl geht Verf. an die Erweiterung des dritten. \(\mathfrak F\) sei eine \(n\)-blättrige Riemannsche Fläche ohne Rand (algebroide Kurve). Außer für gewisse \(r\), die in Intervallen total endlicher logarithmischer Länge liegen, zeigt Verf. \[ V_l(r)+\sum_a\lambda_a m_l^*(r;a)< \frac{(k+1)(nk-k+1)}{k+1-l}T(r)+O[\log r\, T(r)], \] wo \(V_l(r)\) und \(T(r)\) bedeuten \(V_l(G)\) und \(T(G)\), wenn man als \(G\) das Gebiet \(|z|<r\) wählt. \(m^*_l(r;a)\) ist die Funktion \(m^*(G; a)\) in bezug auf die Kurve \(\mathfrak C_l\). Die \(\lambda_a\) sind beliebige Zahlen unterhalb 1, wenn die \(a\) keiner linearen Beziehung genügen; andernfalls können die \(\lambda_a\) so gewählt werden, daß die Summe der \(\lambda_a\), deren \(a\) in einem Unterraum \(\mathfrak R_l\) von \(h-1\) Dimensionen (\(1\leqq h\leqq k_l\)) liegen, unterhalb \(h\) bleibt. Man erhält ein entsprechendes Ergebnis, wenn \(\mathfrak F\) die einfache zweimal punktierte Ebene ist (im Ring meromorphe Kurve).