The theory of meromorphic curves. (Q2581955)

Verf. verfolgt einen zuerst von \textit{H.} und \textit{J. Weyl} (Ann. Math., Princeton, (2) 39 (1938), 516-538; F. d. M. \(64_{\text{II}}\), 1065) begangenen Weg, benutzt aber eine direktere Methode, die ihn zu vollständigeren Ergebnissen führt. Im unitären Vektorraum \(E^{n+1}\) ist das Skalarprodukt zweier Vektoren \(x\) und \(y\) mit den Komponenten \(x_i\) und \(y_i\) als \(\sum x_i\bar y_i\) erklärt; entsprechend wird das Skalarprodukt zweier Multivektoren gleicher Dimension definiert und, noch allgemeiner, das kontrahierte Produkt (\(VW\)) zweier beliebiger Multivektoren \(V\) und \(W\). Die Länge \(|V|\) eines Multivektors \(V\) ist gegeben durch \(|V|^2=(VV)\). Als meromorphe Kurve des \(E^{n+1}\) bezeichnet Verf. die Menge der Punkte \(x\), deren Koordinaten \(x_i\) (\(i = 0, 1,\ldots, n\)) ganze Funktionen \(x_i(t)\) der komplexen Veränderlichen \(t = re^{i\varphi}\) sind. Für \(k = 1, 2,\ldots, n\) definiert der \(k\)-Vektor \(X^k = [x, x',\ldots, x^{(k-1)}]\), dessen Komponenten die \(k\)-reihigen Wronski-Determinanten der \(x_i\) sind, eine lineare Mannigfaltigkeit von \(k\) Dimensionen, die Schmiegmannigfaltigkeit der Kurve ist. Verf. führt die Größen \(N_k(r) =\int\limits_{r_0}^r n_k(r) \dfrac{dr}r\) ein, wo \(n_k(r)\) die Nullstellenanzahl von \(X^k\) in \(|t|<r\) ist, und die \textit{charakteristischen Funktionen} \[ T_k(r)=\left[\frac1{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}\log|X^k|d\varphi\right]_{r_0}^rN_k(r). \] Ist \(E^h\) ein \(h\)-Vektor (\(h = 1, 2,\ldots, n\)) der Länge 1, so seien \[ m_k(r,E^h)=\frac1{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}\log\frac{|X^k|}{|X^kE^h)|}d\varphi, \quad N_k(r,E^h)=\int\limits_{r_0}^r n_k(r,E^h)\frac{dr}r, \] wenn \(n_k(r, E^h)\) die Anzahl der Nullstellen von \(\dfrac{(X^kE^h)}{|X^k|}\) in \(|t|<r\) bezeichnet. Ferner sei \[ T_k(r,E^h)=\begin{cases} \left[\frac1{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}\log|(X^kE^h)|d\varphi \right]_{r_0}^r -N_k(r,E^h)-N_k(r) & \text{für} \;h\neq k,\\ 0 & \text{für} \;h=k. \end{cases} \] Das \textit{erste Gleichverteilungsgesetz}, das den ersten Fundamentalsatz von R. Nevanlinna für eine einzige meromorphe Funktion verallgemeinert, drückt sich durch die folgenden Beziehungen aus: \[ m_k(r, E^h) - m_k(r_0, E^h) + T_k(r, E^h) + N_k(r, E^h) = T_k(r). \] Zwei dieser Beziehungen (\(k = 1\), \(h = 1\) und \(k = 1\), \(h = n\)) waren von H. und J. Weyl erhalten worden. Die charakteristischen Funktionen \(T_k(r)\) sind näherungsweise von gleicher Größenordnung. \(T(r)\) sei die größte unter ihnen, und \(\omega(T(r))\) sei eine solche Funktion \(\vartheta(r)\), daß \[ \int\limits_{r_0}^r\frac{dr}r\int\limits_{r_0}^r e^{K\vartheta(r)}r\,dr< C\;T(r)+C' \] gilt, wenn \(K>0\), \(C\) und \(C'\) Konstanten sind. Dies zieht fast überall die Ungleichung \[ K\omega (T(r)) < \chi^2\log T(r) - 2 \log r + O(1) \] nach sich, in der \(\chi\) eine beliebige Konstante ist, die größer als 1 ist. Verf. setzt \(\overline T_i(r) = T_i(r) + N_i(r)\). Die Funktionen \(T_k(r)\) und \(T_k(r,E^h)\) lassen sich, durch die \(N_k(r, E^h)\) und ihre Mittelwerte ausdrücken. Durch Benutzung gewogener Mittel, wie beim früher erbrachten Beweis des zweiten Fundamentalsatzes im Falle einer einzigen meromorphen Funktion, beweist Verf. das \textit{zweite Gleichverteilungsgesetz}: Für eine endliche Anzahl von \(E^h\) in allgemeiner Lage gelten die Beziehungen: \[ \begin{multlined} \sum m_k(r,E^h)=\binom{n+1}h\overline T_k(r)\\ -\sum\limits_{i=k-h}^k\binom{n-i}{k-i}\binom{i-1}{h-k+i} \overline T_i(r)-\binom n{h-1}N_{n+1}(r)+\omega(T^2)\qquad \text{für} \;k>h, \end{multlined} \] \[ \begin{multlined} \sum m_k(r,E^h)=\binom{n+1}h\overline T_k(r)\sum_{i=k}^{n+1-h+k}\binom{i-1}{k-1}\binom{n-i}{h-k-1}\overline T_i(r)+ \omega(T^2)\\ \text{für} \;k<h, \end{multlined} \] \[ \begin{multlined} \sum m_h(r,E^h)=\binom{n+1}h\overline T_h(r)\binom n{h-1}N_{n+1}(r)+\omega(T^2).\\ \end{multlined} \] Eine dieser Beziehungen (\(k=1\), \(h=n\)) war von H. und J. Weyl erhalten worden. (Anmerkung des Ref.: Ein anderer Beweis der gleichen Beziehung ist vom Ref. gegeben worden unter Benutzung der Methode der gewogenen Mittel von Ahlfors (C. R. Acad. Sci., Paris, 211 (1940), 628-631; F. d. M. 66, 360 (JFM 66.0360.*)). Die Gleichung für \(k=h = 1\) ist 1933 auf sehr einfache Weise von \textit{H. Cartan} bewiesen worden (Mathematica, Cluj, 7 (1933), 5-31; F. d. M. \(59_{\text I}\), 327)).