On a theorem of Rengels. (Q2581967)

Es handelt sich um den Satz, der aussagt, daß bei einer schlichten Abbildung des längs gewisser konzentrischer Kreisbogen aufgeschlitzten Einheitskreises durch eine reguläre Funktion \(w = f (z)\) mit \(f(0) = 0\), \(|f'(0)| = 1\), bei der \(|z|=1\) in die äußere Randkomponente übergeht, diese einen Punkt außerhalb \(|w|=1\) besitzt, ausgenommen den Fall \(f(z) = z\) (vgl. \textit{E. Rengel}, Schr. math. Sem., Inst. angew. Math. Univ. Berlin 1 (1933), 141-162 (F. d. M. \(59_{\text I}\), 351), Satz I b). Die Verallgemeinerung, die Verf. von diesem Satz unter wesentlicher Abschwächung der Voraussetzung der Schlichtheit geben will, ist gleichzeitig eine solche eines Bermantschen Ergebnisses, das der Spezialfall des Satzes des Verf. bei fehlenden Schlitzen ist (\textit{A. Bermant}, C. R. Acad. Sci., Paris, 207 (1938), 31-33; F. d. M. \(64_{\text I}\), 315). Jedoch sind die vom Verf. gegebenen Definitionen einiger Grundbegriffe (gewisser Gebiete auf Riemannschen Flächen) so unfertig, daß Ref. einen klaren Sinn in den Ergebnissen nicht finden konnte. Z. B. übersieht Verf., daß er die Voraussetzung von Rengel, daß \(|z|=1\) in die äußere Randkomponente des Bildes übergehe, auf nicht schlichtes \(f(z)\) übertragen muß. Was soll ferner unter dem vom Bild von \(|z|=1\) allein berandeten Gebiet bei nicht schlichtem \(f(z)\) verstanden werden?