Eindeutige beschränkte Funktionen in mehrfach zusammenhängenden Gebieten. I. (Q2581981)

Verf. geht von der bekannten Tatsache aus, daß sich gewisse konforme Abbildungen einfach zusammenhängender Bereiche auf Normalbereiche (Kreis, Halbebene, Parallelstreifen) durch Extremaleigenschaften charakterisieren lassen, und untersucht in Fortführung dieser Gedankenrichtung die Abbildungsleistungen entsprechender Extremalfunktionen für mehrfach zusammenhängende schlichte Bereiche. Er stellt die folgenden -- hier nur dem Sinne nach wiedergegebenen -- Sätze auf: I. Es sei \(\mathfrak B\) ein schlichter, \(n\)-fach zusammenhängender Bereich mit durchweg linienhafter, d. h. nicht punktförmiger Berandung. Unter allen in \(\mathfrak B\) eindeutigen und regulären Funktionen, die dem Betrage nach unter 1 liegen und in einem festen Punkte \(z_0\) von \(\mathfrak B\) verschwinden, gibt es eine und bis auf einen konstanten Faktor auch nur eine, die in einem festen Punkte \(z^* \neq z_0\) von \(\mathfrak B\) ein Maximum des absoluten Betrages erreicht. Diese Funktion vermittelt eine Abbildung von \(\mathfrak B\) auf die \(n\)-blättrige Einheitskreisfläche. II. Unter allen in \(\mathfrak B\) eindeutigen und regulären Funktionen mit nicht negativem Realteil, die in der Nähe eines Randpunktes in bestimmter Weise unendlich werden, gibt es eine und bis auf eine additive Konstante nur eine, deren Realteil in einem festen Punkte \(z^*\) ein Minimum erreicht. Diese Funktion bildet \(\mathfrak B\) auf eine \(n\)-blättrige Halbebene ab. III. Unter allen in \(\mathfrak B\) eindeutigen und regulären Funktionen, deren Realteil zwischen 0 und 1 liegt und in der Nähe eines gewissen Randbogens gegen 1 strebt, gibt es eine und wie unter II wesentlich nur eine, deren Realteil in einem festen Punkte \(z^*\) ein absolutes Minimum erreicht. Diese Funktion bildet \(\mathfrak B\) auf einen \(n\)-blättrigen Parallelstreifen ab. -Die Extremalfunktionen hängen für mehrfach zusammenhängende Bereiche durchaus von der Wahl des Punktes \(z^*\) ab. -- Vollständige Beweise werden nur für II und III gegeben. Benutzt werden dabei einerseits funktionentheoretische Methoden (Häufungsprinzip der analytischen Funktionen, Schwarzsches Lemma usw.), andererseits Methoden der reellen Analysis (Theorie der Extrema mit Nebenbedingungen, Lagrangesche Multiplikatorenmethode). (Teil II, Jber. Deutsche Math.-Verein. 52 (1942), 118-132; F. d. M. 68.)