Quadratisch integrierbare Differentiale auf einer Rie\-mannschen Mannigfaltigkeit. (Q2581998)

Die Untersuchung der Abelschen Differentiale erster Gattung auf nicht ge\-schlossenen Riemannschen Flächen, insbesondere solchen unendlichen Geschlechts, hat bisher nur Anfangserfolge in bestimmten Spezialfällen aufzuweisen. Verf. zeigt, daß eine sinnvolle Übertragung der klassischen Theorie auf die genannten Objekte möglich wird, wenn man die Fläche der einschränkenden Bedingung unterwirft, daß ihr idealer Rand das harmonische Maß Null hat, und von den Abelschen Diffe\-rentialen erster Gattung verlangt, daß ihr über die ganze Fläche erstrecktes Dirichlet-Integral endlich ist. Diese Annahmen erweisen sich als dem Problem genau ange\-messen. Ihre Formulierung und die auf ihnen beruhende Theorie stellen einen ent\-scheidenden Fortschritt dar. Im einzelnen beweist Verf. zunächst einige Hilfssätze von grundlegender Be\-deutung: 1. Wenn das Differential \(dw = du + idv\) auf einer (im obigen Sinne null\-berandeten) Riemannschen Fläche \(F\) regulär und (im obigen Sinne) quadratisch integrierbar ist, wenn ferner das Integral \(u\) eindeutig ist, so ist \(dw \equiv 0\). 2. Bezeichnet \(F_0\) ein beliebiges Gebiet auf \(F\) mit der relativen Berandung \(\varGamma_0\), und \(dw = du + idv\) ein auf \(F\) reguläres und quadratisch integrierbares Differential mit einem auf \(F_0\) eindeutigen Integral \(u\), so gilt für \(u\) auf \(F_0\) das Maximum- und Minimumprinzip. 3. Bei gleicher Bedeutung von \(F_0\) und \(\varGamma_0\) sei \(\varGamma_0\) kompakt, \(dw = du + idv\) auf \(F_0+\varGamma_0\) regulär, das Integral \(u\) dort eindeutig und beschränkt. Dann ist das Dirichlet-Integral \[ {\iint\limits_{F_0}}\left(\left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^2+ \left(\dfrac{\partial u}{\partial y}\right)^2\right)\,dx\,dy= {\int\limits_{\varGamma_0}}u\,dv. \] Sind ferner \(dw_1 = du_1 + idv_1\), \(dw_2 = du_2 + idv_2\) zwei reguläre quadratisch inte\-grierbare Differentiale auf \(F\), und ist insbesondere das Integral \(u_1\) auf \(F\) eindeutig, so gilt entsprechend \[ {\iint\limits_{F_0}}\left( \dfrac{\partial u_1}{\partial x}\dfrac{\partial u_2}{\partial x}+ \dfrac{\partial u_1}{\partial y}\dfrac{\partial u_2}{\partial y} \right)\,dx\,dy= {\int\limits_{\varGamma_0}}u_1\,dv_2. \] Die einem regulären Differential \(dw\) auf \(F\) zugeordneten Periodizitätsmoduln \(a_\alpha ={\int\limits_{\alpha}}dw\) für die geschlossenen orientierten Wege \(\alpha\) auf \(F\) bilden einen linearen Modul mit höchstens abzählbar unendlich vielen Erzeugenden \({\int\limits_{\alpha_n}}dw\) (\(n=1\), 2, 3,\dots). Es ist stets möglich, ein Rückkehrschnittsystem \(\alpha_n\) (\(n = 1\), 2, 3,\dots) zu kon\-struieren, das diese Eigenschaft für alle \(dw\) aufweist. Ist \(F\) nullberandet, \(dw\) regulär und quadratisch integrierbar, so ist der Periodizitätsmodul \({\int\limits_{\alpha}} dw= 0\), wenn \(\alpha\) die Fläche \(F\) zerlegt. Dies ergibt auf Grund genannter Hilfssätze, daß \(dw\equiv0\) ist, wenn \({\int\limits_{\alpha_n}}dw = 0\)(\(n=1\), 2, 3,\dots). Ferner zeigt ein allgemeiner Existenzsatz, daß es zu einem vorgegebenen, \(F\) nicht zerlegenden Rückkehrschnitt \(\alpha\) ein reguläres quadratisch integrierbares Differential \(dw\) auf \(F\) gibt, für welches das Integral \(u\) auf der durch \(\alpha\) zerschnittenen Fläche eindeutig und beschränkt ist und bei Über\-schreitung von \(\alpha\) um 1 springt. Auf dieser Grundlage läßt sich die Metrisierung der regulären quadratisch integrierbaren Differentiale auf \(F\) herstellen. Bedeuten \(dw^{(1)}\), \(dw^{(2)}\) zwei solche Differentiale, \(t\) die Ortsvariable eines Punktes auf \(F\) und \(\varphi_j(t)\) (\(j = 1\), 2) die lokalen Ortsfunktionen \(\dfrac{dw_j}{dt}\), so wird das Skalarprodukt von \(dw^{(1)}\) mit \(dw^{(2)}\) durch das Inte\-gral \[ (dw^{(1)}, dw^{(2)}) ={\iint\limits_{F}}\varphi_1\overline{\varphi}_2\,dx\,dy \quad(t = x + iy) \] erklärt, das als Summe derartiger Einzelintegrale über ein \(F\) ausschöpfendes Um\-gebungssystem aufzufassen ist. -- Es ergibt sich als Hauptsatz: Auf jeder nicht schlichtartigen nullberandeten Riemannschen Fläche \(F\) exi\-stiert ein endliches oder abzählbar unendliches normiertes Orthogonalsystem von Differentialen \(dw_n\) erster Gattung (\(n = 1\), 2, 3,\dots). Jedes quadratisch integrier\-bare Differential von erster Gattung \(dw = du + i dv\) auf \(F\) läßt sich in der Gestalt \(dw ={\sum\limits_{n=1}^{\infty}}c_ndw_n\) mit den eindeutig bestimmten Koeffizienten \(c_n= (dw, dw_n)\) dar\-stellen. Hierbei gilt \[ (dw,dw)={\iint\limits_{F}}\left(\left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^2+ \left(\dfrac{\partial u}{\partial y}\right)^2\right)\,dx\,dy= {\sum\limits_{n=1}^{\infty}}|c_n|^2<\infty \] Aus einer Basis \(dw_n\) erhält man jede andere durch eine unitäre Transformation und nur durch eine solche. Den Schluß der Arbeit bilden Betrachtungen über die Tragweite der zugrunde gelegten Annahmen und Hinweise auf Anwendungen und Erweiterungen der Theorie.