Theorems on Dedekind sums. (Q2582008)

Es handelt sich um die von Dedekind untersuchte Funktion \[ \eta(\tau)=e^{\frac{\pi i\tau}{12}}{\prod\limits_{m=1}^{\infty}} (1-e^{2\pi im\tau})=\root24\of{\varDelta(\tau)}; \] hier ist \(\varDelta(\tau)\) die Diskriminante der elliptischen Funktionen, \(\Im\tau> 0\). Für \(\log\eta(\tau)\) gilt mit \(\tau'=\dfrac{a\tau+b}{c\tau+d}\) (\(a, b, c, d\) ganz, \(ad - bc = 1, c > 0\)) nach Dedekind die Trans\-formationsgleichung \[ \log\eta(\tau') = \log\eta(\tau) +\frac12\log (-i(c\tau + d)) + \frac{\pi i}{12\,c}(a+d)-\pi i\,s(d,c), \] wo \(\log (- i(c\tau + d))\) reell, wenn \(\tau=-\dfrac dc+iy\), \(y > 0\), und \[ s(h,k)= \sum\limits_{\mu=1}^{k} \bigg(\bigg(\dfrac{\mu}{k}\bigg)\bigg)\bigg(\bigg(\dfrac{h\mu}{k}\bigg)\bigg),\qquad ((x))=\begin{cases} x-[x]-\frac12, &\text{wenn \(x\) nicht ganz},\\ 0, &\text{wenn \(x\) ganz}. \end{cases} \] Die Verf. beweisen zunächst rein arithmetisch die Dedekindschen Identitäten über \(s (h, k)\) und gewisse verwandte Summen. Sodann zeigen sie, daß die Unter\-suchungen Dedekinds in seinen ``Erläuterungen'' zu Ergebnissen führen, die sach\-lich mit den Formeln des Riemannschen Fragments übereinstimmen; Dedekind selbst hatte seine Rechnungen nicht soweit geführt. Im dritten Teil der Arbeit begründen die Verf. einige neue Kongruenzen für die \(s (h, k)\), darunter vornehmlich diese: Seien \(a, b, c\) natürliche Zahlen mit \[ (a, b) = (b, c) = (c, a) = 1,\quad abc\equiv 0\pmod{24}. \] Dann gilt \[ \bigg(s (ab,c) -\frac{ab}{12c}\bigg) + \bigg(s (bc,a)-\frac{bc}{12a}\bigg) -\bigg(s (b, ac) -\frac{b}{12ac}\bigg)\equiv 0\pmod{2}. \] Diese Kongruenz wird angewendet, um die bereits von D. H. Lehmer bewiesene Faktorenzerlegung der Summen \[ A_k(n)=\sum\limits_{\substack{ h\bmod k\\(h,k=1)}} e^{\pi is(h,k)-2\pi i\frac{hn}k} \] erneut zu beweisen.