Beweis eines Darstellungssatzes aus der Theorie der ganzen Modulformen. (Q2582011)

Verf. gibt einen neuen Beweis für die Darstellbarkeit der Spitzenformen \(f(\tau)\) der ganzzahligen Dimension -- \(k\) zur Stufe \(Q\) für das Multiplikatorsystem 1 durch end\-lich viele Poincaré-Reihen \[ G_k(\tau,\nu;\,Q) ={\sum\limits_{M\in\mathfrak S}}e^{2\pi i\frac\nu QM\tau} (c\tau+d)^{-k}. \] Er betrachtet dazu für positives \(h\) \[ K(h,\tau) ={\sum\limits_{\nu=1}^{\infty}}\alpha_\nu e^{-2\pi\frac\nu Qh} G_k(\tau,\nu;\,Q), \] wenn die \(\alpha_\nu\) die Fourierkoeffizienten der Entwicklung der beliebig vorgegebenen Spitzenform \(f(\tau)\) sind. Für zunächst rein imaginäres \(\tau\) zeigt Verf. nach Einsetzen von \(G_k(\tau,\nu;\,Q)\) und unter Benutzung eines zuvor bewiesenen Hilfssatzes: \[ \begin{gathered} {\lim\limits_{h\to0}}hK(h,\tau)=\frac6{\sigma(Q)}I\text{\;\;mit\;\;} \sigma(Q)=Q^2{\prod\limits_{p|Q}}\left(1-\dfrac{1}{p^2}\right)\text{\;\;und}\\ I={\int\limits_{-\infty}^{+\infty}}{\int\limits_{-\infty}^{+\infty}} (1-ix(x\tau+y))^{-1}f\left(\tau+i\dfrac{(x\tau+y)^2}{1-ix(x\tau+y)}\right)\,dx\,dy. \end{gathered} \] Statt \(I\) wird ein Doppelintegral \(I_\delta\) berechnet, das aus \(I\) entsteht durch Vermehren des Argumentes von \(f\) um \(i\delta\), \(\delta\geqq0\). \(I_\delta\) ergibt sich zu \(\dfrac\pi{k-1}f(\delta i + \tau)\), es folgt daher \({\lim\limits_{h\to0}}hK (h, \tau) =\dfrac6{\sigma(Q)(k-1)\pi}f(\tau)\). Benutzt man zur Darstellung der \(G_k(\tau, \nu,\, Q)\) die endliche Basis \(G_k(\tau,\nu_i;\,Q)\) (\(i = 1\), 2,\dots, \(\varkappa\)), so wird \({\lim\limits_{h\to0}} h K (h, \tau)\) andererseits eine endliche Linearkombination der \(G_k(\tau,\nu_i;\,Q)\), deren Koeffizienten von \(\tau\) unabhängig sind und für \(h\to0\) endlichen Grenzwerten zustreben. Am Schluß setzt Verf. auch für die \(G_k\) die Fourierentwicklung ein und findet, nach Definition des Skalarproduktes zweier Spitzenformen \[ f_j(\tau)={\sum\limits_{\nu=1}^{\infty}}\alpha_\nu^{(j)} e^{2\pi i\frac\nu Q\tau},\;j=1,2, \] als \[ (f_1,f_2)={\lim\limits_{h\to0}}h{\sum\limits_{\nu=1}^{\infty}} \frac{\alpha_\nu^{(1)}\overline{\alpha_\nu^{(2)}}}{\nu^{k-1}}e^{-2\pi\frac\nu Qh} \] die Beziehung \[ (f(\tau),G_k(\tau,\nu;\,Q))=\frac{6\nu^{1-k}}{\sigma(Q)(k-1)\pi}\alpha_\nu. \] Er erhält somit, wie er selbst angibt, bis auf einen konstanten Faktor den Wert des von \textit{H. Petersson} eingeführten Skalarproduktes (Jber. Deutsche Math.-Verein. 49 (1939), 49-75; F. d. M. 65, 355 (JFM 65.0355.*); insbesondere S. 55; dort war die Metrisierung als Grundprinzip eingeführt worden, um unter anderem den obigen (Vollständig\-keits-)Satz abzulesen).