Sur quelques problèmes de la théorie des fonctions de deux variables complexes. (Q2582019)

Verf. untersucht Reihen von der Form \[ f(x,y)={\sum\limits_{n=0}^{\infty}}A_n(x)(y-y_0)^n \] mittels der Diskussion geeigneter Folgen subharmonischer Funktionen, z. B. \(U_n(x) = \dfrac1n\log|A_n(x)|\). Durch Integraldarstellungen subharmonischer Funk\-tionen erhält er die Hartogsschen Hauptsätze über den Radius \(R(x)\) der gleichmäßigen Konvergenz. Durch Anwendung mengentheoretischer Begriffe (wie Kapazität) ge\-lingen ihm Verschärfungen und neue Formulierungen betr. die Lage der singulären Stellen und der Stacheln. Im zweiten Teil wird vorerst gezeigt, daß ein Bereich \[ |x|<d,\;|y-y_0|<R(x),\;V_1(x)=-\log R(x), \] wobei \(V_1(x)\) eine subharmonische Funktion bedeutet, immer als Konvergenzbereich einer obigen Reihe betrachtet werden kann. Ebenso ist ein solcher Bereich immer Existenzbereich einer holomorphen Funktion. Schließlich werden der Fall der Biharmonität der Funktion \(\log R(x, y)\) untersucht und Konsequenzen für die Lage der Singularitäten in diesem Fall gegeben. Im dritten Teil werden ganze Funktionen vom Typus \(f (x, y)\), wobei \(|x|< d\), \(|y|<\infty\) ist, untersucht. Für die Beschreibung des Wachstums des absoluten Be\-trages werden verschiedene Hilfsfunktionen eingeführt. Es wird der Zusammenhang des Wachstums mit dem Kontinuitätssatz diskutiert. Schließlich wird gezeigt, daß die Gleichung \(f(x_i,y)=0\) höchstens für eine Menge von der innern Kapazität 0 keine Nullstellen haben kann (Frage von Julia).