Risoluzione di una classe d'equazioni differenziali lineari. (Q2582073)

Es sei \(L(y) = \sum _{\nu =0}^n \binom \omega \nu \,P_n^{(\nu )}(x)\,y^{(n-\nu )}\), wo \(\omega \) eine Konstante, \(\binom \omega 0=1\) und \(P_n(x)\) ein Polynom \(n\)-ten Grades in \(x\) mit den Nullstellen \(\alpha _1,\ldots,\alpha _n\) ist. Sind die \(\alpha _\nu \) sämtlich verschieden, und ist \(\omega \neq n-\varrho\), \(\varrho =1,\ldots,n-1\), so bilden \((x-\alpha _\nu )^{n-\omega -1}\), \(\nu =1,\ldots,n\), ein Fundamentalsystem für die Lösungen von \(L(y) = 0\). Sind dagegen die \(\alpha _\nu \) sämtlich gleich, so wird durch \((x-\alpha _1)^{n-\omega -\nu }\) ein Fundamentalsystem geliefert. Entsprechend im Falle nur teilweiser Gleichheit der \(\alpha _\nu \) bei \(\omega \neq n-\varrho\), \(\varrho =1,\ldots,n-1\). Für z. B. \(\omega = n-2\) sind \(x^0\), \(x^1\), \(\iint P_n^{-1}dx^2,\ldots \), \(\iint x^{n-3}\,P_n^{-1}dx^2\) ein Fundamentalsystem.