Sur les expressions asymptotiques pour les intégrales des systèmes d'équations différentielles linéaires contenant un paramètre. (Q2582077)

Es wird die Abhängigkeit der Integrale einer Matrixdifferentialgleichung \[ \frac {dY}{dx} = YP +\varPi \tag{1} \] von einem komplexen Parameter \(\alpha\) untersucht, hinsichtlich dessen die Koeffizienten endlichvielgliedrige asymptotische Darstellungen nach fallenden Potenzen besitzen. Im einzelnen wird angenommen: \ \(P (x, \alpha ) =\alpha \,\Bigl( \sum _0^m P_\nu (x)\,\alpha ^{-\nu }+o\,(\alpha ^{-m})\Bigr)\) für \(\alpha \to\infty \) in einem gewissen Gebiet \(\mathfrak G\), wobei die \(P_\nu (x)\) im reellen Intervall \(a\leqq x\leqq b\) hinreichend oft differenzierbar sein sollen; die Eigenwerte \(\lambda _j(x)\) der Matrix \(P_0(x)\) seien für alle diese \(x\) voneinander verschieden, und ferner sei \[ \mathfrak R\,(\alpha \lambda _i(x)) \geqq \mathfrak R\,(\alpha \lambda _j(x)) \qquad (i<j). \] Für \(\varPi \equiv 0\) (homogene Gleichung) wird zunächst vorbereitend festgestellt, daß eine Lösung der Form exp \([\alpha \varOmega _0(x)]\, F (x, \alpha )\) vorhanden ist, wo \(\varOmega _0(x)\) die Diagonalmatrix mit den Diagonalelementen \(\int\limits _a^x \lambda _j(x)\,dx\) bedeutet und \(F (x, \alpha )\) beschränkt ist. -- Nun sei \[ \frac {dQ}{dx}=ZQ\tag{2} \] eine homogene Differentialgleichung vom nämlichen Typ. Sind \(P_0(x)\), \(Q_0(x)\) ähnlich, so kann man (1) bei \(\varPi \equiv 0\) in der Form integrieren \[ Y=Z\,\Biggl\{ \sum _0^{m-1} Y_\nu (x)\,\alpha ^{-\nu } +o\,(\alpha ^{-(m-1)})\Biggr\}, \] und für die nichthomogene Gleichung (1) ergeben sich, wenn \[ \varPi =\alpha ^rZ\,\Biggl\{ \sum _0^m \varPi _\nu (x)\,\alpha ^{-\nu } +o\,(\alpha ^{-m})\Biggr\} \] angenommen wird, unter verschiedenartigen Voraussetzungen über die Beziehungen der Eigenwerte von \(Q_0(x)\) und \(P_0(x)\) (u. a. Resonanzerscheinungen!) verwandte asymptotische Ausdrücke für die Lösungen. (Besprochen nach dem französischen Auszug.)