Sull'integrazione dell'equazione differenziale \(y' = Ay^3 + By^2 + Cy + D\). (Q2582083)

Durch die Substitution \(y = z + \varphi \) wird die Differentialgleichung (1) \ \(y' = Ay^3 + By^2 + Cy + D\) (\(A\neq 0\)) auf die Form (2) \ \(z' = Az^3 + \theta z^2 + \lambda z\) gebracht, falls \(\varphi \) der Gleichung (1) genügt; es bestehen sodann die folgenden Beziehungen (3) \ \(\theta = 3A\varphi + B\), \ \(\lambda = 3A\varphi ^2 + 2B\varphi + C\), \ \(\varphi ' = A\varphi ^3 + B\varphi ^2 + C\varphi + D\). Verf. stellt einige Integrabilitätsbedingungen der Gleichung (1) auf, indem er spezielle Beziehungen zwischen den \(A\), \(\theta \), \(\lambda \) wählt, derart, daß die Gleichung (2) elementar integriert werden kann, und dieselben mittels der Formeln (3) in den \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) ausdrückt. Z. B. für \ \(\theta = 0\) erhält man \ \(9\,(A'B-AB') = 2B^3 -9 ABC + 27A^2D\).