Über die Lösbarkeit und Stabilität der Aufgabe von Dirichlet. (Q2582139)

Das Schwergewicht dieser potentialtheoretischen Untersuchung über die 1. Randwertaufgabe der Potentialtheorie, vom Verf. nach französischem Vorbild als Dirichletsche Aufgabe (D. A.) bezeichnet, liegt nicht in der Betrachtung der Randwerte (diese werden schlechtweg als stetig angenommen), sondern des zugrundegelegten Gebietes und der Frage, wie weit man in der freien Wahl des Gebietes gehen darf, ohne die Lösbarkeit der D. A. bzw. die Lösbarkeit in einem verallgemeinerten Sinn aufzuheben oder, wenn das doch geschieht, inwieweit die Lösbarkeit beeinträchtigt wird. Die verallgemeinerte Lösung ist dabei eine Funktion, die nach Wieners Methode durch Annäherung des gegebenen Gebietes von innen her durch einfacher gestaltete Gebiete und durch Lösung der D. A. in ihnen mit Hilfe eines Grenzprozesses gewonnen wird. Im Anschluß an die einschlägigen Arbeiten von Schwarz, Poincaré, Perron, de la Vallée-Poussin und Wiener werden dabei die Gebiete mit Hilfe weitgehender Methoden der Mengenlehre daraufhin analysiert. Zu diesem Zweck werden geeignete Begriffsbildungen eingeführt, mit deren Hilfe die Fragestellung verfolgt werden kann und die Ergebnisse sich formulieren lassen. Beispiele von Gebieten mit besonderen Eigenschaften werden gebracht. Im letzten Abschnitt wird ferner die Frage der Stabilität der Lösung gegenüber Veränderungen der Begrenzung des Gebietes untersucht. Diese wird erklärt durch die Bedingung dafür, daß eine in ähnlicher Weise wie die verallgemeinerte Lösung, aber durch äußere Annäherung des Gebietes gewonnene Funktion mit dieser zusammenfällt. Begründet durch diese Erklärung erweist es sich, daß zwischen der Frage der Lösbarkeit und der Frage der Stabilität der D. A. eine gewisse Analogie besteht, deren Verfolgung in der Wahl der nunmehr notwendigen neuen Begriffsbildungen, die den früheren entsprechen, und in der Formulierung der Ergebnisse zum Ausdruck kommt. Die Ausführung bezieht sich auf den 3-dimensionalen Raum, die Ergebnisse gelten aber auch für einen Raum beliebig hoher Dimensionen. -Das Studium der Arbeit ist erschwert durch ein fast völliges Fehlen von Schrifttumsangaben. Angaben über den Inhalt. I. Die verallgemeinerte Lösung der D. A.; reguläre und irreguläre Punkte der Begrenzung des Gebietes; Kriterien für das Bestehen solcher Punkte. II. Die Kapazität einer Menge (eine weitgehende Verallgemeinerung der elektrostatischen Kapazität); ihr Zusammenhang mit der verallgemeinerten Lösung der D. A.; Mengen der Kapazität Null; eine Verschärfung des Eindeutigkeitssatzes der Lösung der D. A.; Eigenschaften der Mengen der regulären und irregulären Punkte der Begrenzung; das Ausmaß der Nichtlösbarkeit der D. A. (hier kommen einschlägige Ergebnisse von Kellogg, Evans, Bouligand und Vasilesco zur Sprache). III. Das Wienersche Kriterium der Regularität eines Punktes; weitere Kriterien rein geometrischen Charakters; Verhalten der Lösung in einem irregulären Punkt; die Schwankung der Lösung in einem Punkt der Begrenzung; Integraldarstellungen der Schwankung der Lösung und der Bedingung der Lösbarkeit der D. A. IV. Das harmonische Maß einer Menge; eine Integraldarstellung der verallgemeinerten Lösung der D. A. mit Hilfe des harmonischen Maßes. V. Die Stabilität der Lösung der D. A.; Stabilitätspunkte und Instabilitätspunkte der Begrenzung; Kriterien der Stabilität eines Punktes (ein Analogon zum Wienerschen Kriterium) und der Stabilität der Lösung der D. A.; eine Integraldarstellung der Stabilitätsbedingung; Zusammenhang zwischen der Lösbarkeit und der Stabilität der D. A.