Über die Poincarésche Randwertaufgabe des logarithmischen Potentials. (Q2582153)

Gesucht wird eine in dem zweidimensionalen Gebiet \(T\) harmonische Funktion \(u\), die auf der Randkurve \(L\), welche eine stetige Krümmung besitze, der Randbedingung \[ \dfrac{du}{dn}+p(s)\dfrac{du}{ds}+q(s)u+f(s)=0 \] genügt, wo \(s\) die Bogenlänge, \(n\) die innere Normale bezeichnet und \(p(s), g(s), f(s)\) reell sind und der Hölderschen Bedingung genügen. Verf. setzt \(u\) in Gestalt eines logarithmischen Potentials einer einfachen Schicht der stetigen Dichte \(\mu(s)\) auf \(L\) an und erhält für \(\mu(s)\) eine singuläre Integralgleichung, auf die sich die Theorie von \textit{I. Vecoua} (C. R. Acad. Sci. URSS (2) 26 (1940), 327-330; F. d. M. 66, 495 (JFM 66.0495.*)) anwenden läßt, nach der sie einer angebbaren Fredholmschen Integralgleichung gleichwertig ist. Damit man so eine Lösung der Poincaréschen Aufgabe erhält, genügt es z. B., zu verlangen, daß die Normalableitung der gesuchten Funktion der Hölderschen Bedingung genügt. Diese Beschränkung wird in all den Fällen überflüssig, wo die Eindeutigkeit der Lösung unmittelbar eingesehen werden kann, was. z. B. der Fall ist, wenn \(p(s)\) eine integrierbare Ableitung besitzt und \[ \dfrac{dp(s)}{ds}-2q(s)\geq 0, \quad q(s)\not\equiv 0 \] gilt. Alle Überlegungen bleiben auch dann gültig, wenn \(q(s)\) und \(f(s)\) komplexe Funktionen sind, die der Hölderschen Bedingung genügen, und \(p(s) = i A (s)\) ist, wobei die reelle Funktion \(A (s)\) gleichfalls der Hölderschen Bedingung genügt und \(1-A^2(s) \neq 0\) ist. Dieser Fall schließt einen von \textit{G. Bertrand} (Ann. sei. École norm. sup. (3) 40 (1923). 151-258; F. d. M. 49, 756 (JFM 49.0756.*)) behandelten Sonderfall ein.